On considère la fonction f définie sur R par f ( x ) = ( x − 1 ) e x . 1) Calculer x → − ∞ lim f ( x ) et x → + ∞ lim f ( x ) . 2) Calculer f ′ ( x ) et dresser le tableau de variations de f . 3) En déduire le minimum de f sur R .

Étude complète d'une fonction exponentielle

Difficile

On considère la fonction $f$ définie sur $R$ par $f (x) = (x - 1) e^{x}$ .

1) Calculer $x \to - \infty lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ .

2) Calculer $f^{'} (x)$ et dresser le tableau de variations de $f$ .

3) En déduire le minimum de $f$ sur $R$ .

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1 Indice 1

Pour les limites, écris $f(x)=x e^{x}-e^{x}$ et rappelle-toi la croissance comparée $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} x\,e^{x}=0$.

2 Indice 2

Pour dériver, utilise $f=u\times v$ avec $u(x)=x-1$ et $v(x)=e^{x}$, puis factorise par $e^{x}$.

3 Indice 3

Le signe de $f'(x)$ est celui de $x$ puisque $e^{x}>0$ : étudie ce signe pour trouver l'extremum.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour les limites, écris $f (x) = x e^{x} - e^{x}$ et rappelle-toi la croissance comparée $x \to - \infty lim x e^{x} = 0$ .

Pour dériver, utilise $f = u \times v$ avec $u (x) = x - 1$ et $v (x) = e^{x}$ , puis factorise par $e^{x}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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