On considère la fonction f définie sur [ 1 ; e ] par f ( x ) = ln ( x ) . On admet que f ( x ) ≥ 0 sur [ 1 ; e ] . 1) À l'aide d'une intégration par parties, calculer 1 ∫ e ln ( x ) d x . 2) En déduire l'aire A , en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de f , l'axe des abscisses et les droites x = 1 et x = e . 3) Calculer la valeur moyenne de f sur [ 1 ; e ] .

Aire d'un domaine et fonction logarithme

Difficile

On considère la fonction

f

définie sur

[1; e]

par

f (x) = ln (x)

. On admet que

f (x) \geq 0

sur

[1; e]

.
1) À l'aide d'une intégration par parties, calculer

1 \int e ln (x) d x

.
2) En déduire l'aire

A

, en unités d'aire, du domaine compris entre la courbe de

f

, l'axe des abscisses et les droites

x = 1

x = e

.
3) Calculer la valeur moyenne de

f

sur

[1; e]

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour l'intégration par parties, pose $u(x)=\ln(x)$ et $v'(x)=1$, donc $u'(x)=\dfrac{1}{x}$ et $v(x)=x$.

2 Indice 2

Comme $f$ est positive sur $[1;e]$, l'aire sous la courbe est directement égale à l'intégrale calculée à la question précédente.

3 Indice 3

La valeur moyenne d'une fonction sur $[a;b]$ est donnée par $\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'intégration par parties, pose $u (x) = ln (x)$ et $v^{'} (x) = 1$ , donc $u^{'} (x) = \frac{1}{x}$ et $v (x) = x$ .

Comme $f$ est positive sur $[1; e]$ , l'aire sous la courbe est directement égale à l'intégrale calculée à la question précédente.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points