1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer K = 1 ∫ e x ln x d x . 2. En déduire la valeur moyenne de la fonction h ( x ) = x ln x sur l'intervalle [ 1 ; e ] .

Intégration par parties avec logarithme

Difficile

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $K = 1 \int e x ln x d x$ .

2. En déduire la valeur moyenne de la fonction $h (x) = x ln x$ sur l'intervalle $[1; e]$ .

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1 Indice 1

Pour l'intégration par parties, choisis $u(x) = \ln x$ et $v'(x) = x$, car dériver $\ln x$ simplifie l'expression.

2 Indice 2

Utilise la formule $\int u v' = [uv] - \int u'v$ avec $u'(x) = \frac{1}{x}$ et $v(x) = \frac{x^2}{2}$.

3 Indice 3

Pour la valeur moyenne sur $[1;e]$, utilise la formule $\mu = \frac{1}{e-1}\int_1^e h(x)\,dx$ avec le résultat de $K$ trouvé en 1.

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Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Pour l'intégration par parties, choisis $u (x) = ln x$ et $v^{'} (x) = x$ , car dériver $ln x$ simplifie l'expression.

Utilise la formule $\int u v^{'} = [uv] - \int u^{'} v$ avec $u^{'} (x) = \frac{1}{x}$ et $v (x) = \frac{x ^{2}}{2}$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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