Le plan est muni d'un repère orthogonal où l'unité sur l'axe des abscisses vaut 2 cm et l'unité sur l'axe des ordonnées vaut 3 cm. Soit f ( x ) = − x 2 + 4 x , courbe ( C ) sur l'intervalle [ 0 ; 4 ] . 1. Justifier que f ( x ) ≥ 0 sur [ 0 ; 4 ] . 2. Calculer, en unités d'aire, l'aire A du domaine compris entre ( C ) , l'axe des abscisses et les droites x = 0 et x = 4 . 3. En déduire cette aire en cm 2 .

Aire sous $-x^2+4x$, repère 2cm×3cm

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Le plan est muni d'un repère orthogonal où l'unité sur l'axe des abscisses vaut $2$ cm et l'unité sur l'axe des ordonnées vaut $3$ cm.

Soit $f (x) = - x^{2} + 4 x$ , courbe $(C)$ sur l'intervalle $[0; 4]$ .

1. Justifier que $f (x) \geq 0$ sur $[0; 4]$ .

2. Calculer, en unités d'aire, l'aire $A$ du domaine compris entre $(C)$ , l'axe des abscisses et les droites $x = 0$ et $x = 4$ .

3. En déduire cette aire en $cm^{2}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, essaie de factoriser $f(x) = -x^2 + 4x$ en mettant $x$ en facteur. Tu obtiendras un produit de deux termes, et tu pourras étudier le signe de chacun sur $[0\,;\,4]$.

2 Indice 2

Pour la question 2, calcule l'intégrale $\displaystyle\int_0^4 (-x^2 + 4x)\, dx$. Les primitives sont $-\dfrac{x^3}{3} + 2x^2$, que tu évalues entre $0$ et $4$. Pour la question 3, rappelle-toi qu'une unité d'aire est un rectangle de côtés $2$ cm et $3$ cm.

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Pour la question 1, essaie de factoriser $f (x) = - x^{2} + 4 x$ en mettant $x$ en facteur. Tu obtiendras un produit de deux termes, et tu pourras étudier le signe de chacun sur $[0; 4]$ .

Pour la question 2, calcule l'intégrale $0 \int 4 (- x^{2} + 4 x) d x$ . Les primitives sont $- \frac{x ^{3}}{3} + 2 x^{2}$ , que tu évalues entre $0$ et $4$ . Pour la question 3, rappelle-toi qu'une unité d'aire est un rectangle de côtés $2$ cm et $3$ cm.

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