Intégration par parties : coût avec un logarithme

Facile

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Le coût marginal de production d'un atelier, pour $x$ unités ( $x \geq 1$ ), est :

$C^{'} (x) = ln (x) .$

1. À l'aide d'une intégration par parties, calculer $1 \int e ln (x) d x$ .

2. Interpréter ce résultat comme un coût accumulé.

Indices

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1 Indice 1

Pour intégrer par parties $\int \ln(x)\,dx$, pose $u(x) = \ln(x)$ et $v'(x) = 1$. Quelle sera alors $u'(x)$ et quelle primitive simple choisis-tu pour $v(x)$ ?

2 Indice 2

Applique la formule $\int_1^e u\,v' = [u\,v]_1^e - \int_1^e u'\,v$. Après avoir trouvé $v(x) = x$, calcule $[x\ln(x)]_1^e$ puis simplifie $\int_1^e \dfrac{1}{x} \times x\,dx$.

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Pour intégrer par parties $\int ln (x) d x$ , pose $u (x) = ln (x)$ et $v^{'} (x) = 1$ . Quelle sera alors $u^{'} (x)$ et quelle primitive simple choisis-tu pour $v (x)$ ?

Applique la formule $1 \int e u v^{'} = [u v]_{1}^{e} - 1 \int e u^{'} v$ . Après avoir trouvé $v (x) = x$ , calcule $[x ln (x)]_{1}^{e}$ puis simplifie $1 \int e \frac{1}{x} \times x d x$ .

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