Asymptote oblique et position relative

Intermédiaire

Énoncé

Soit $f$ la fonction définie sur $R ∖ {3}$ par :

$f (x) = \frac{2 x ^{2} - 5 x + 1}{x - 3} .$

1. Montrer que la droite $(Δ) : y = 2 x + 1$ est asymptote oblique à la courbe $(C_{f})$ en $+ \infty$ et en $- \infty$ .

2. Étudier la position de $(C_{f})$ par rapport à $(Δ)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer qu'une droite $y = ax + b$ est asymptote oblique, commence par effectuer la division euclidienne du numérateur $2x^2 - 5x + 1$ par le dénominateur $x - 3$.

2 Indice 2

Une fois la division faite, tu obtiendras $f(x) = 2x + 1 + \dfrac{\text{reste}}{x-3}$. Calcule alors $\lim_{x \to \pm\infty} \left(f(x) - (2x+1)\right)$ pour vérifier que cette limite vaut zéro.

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Pour montrer qu'une droite $y = a x + b$ est asymptote oblique, commence par effectuer la division euclidienne du numérateur $2 x^{2} - 5 x + 1$ par le dénominateur $x - 3$ .

Une fois la division faite, tu obtiendras $f (x) = 2 x + 1 + \frac{reste}{x - 3}$ . Calcule alors $x \to \pm \infty lim (f (x) - (2 x + 1))$ pour vérifier que cette limite vaut zéro.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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