Le taux de croissance d'une population (en milliers d'habitants) est modelise pour x  = 1 par g ( x ) = x − 1 x 2 − 1 , avec x > 0 . La fonction g est-elle prolongeable par continuite en x 0 = 1 ? Si oui, donner la valeur du prolongement.

Prolongement par continuite d'un taux

Intermédiaire

Énoncé

Le taux de croissance d'une population (en milliers d'habitants) est modelise pour $x \neq = 1$ par $g (x) = \frac{x ^{2} - 1}{x - 1}$ , avec $x > 0$ .

La fonction $g$ est-elle prolongeable par continuite en $x_{0} = 1$ ? Si oui, donner la valeur du prolongement.

Indices

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1 Indice 1

Tu remarques une forme indéterminée $\dfrac{0}{0}$ en $x=1$. Pense à factoriser le numérateur $x^2-1$ et utilise l'identité $x-1=(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)$ pour faire apparaître le dénominateur.

2 Indice 2

Une fois factorisé, tu obtiens $g(x)=\dfrac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)(x+1)}{\sqrt{x}-1}$ pour $x\neq 1$. Simplifie par $(\sqrt{x}-1)$, puis calcule la limite de l'expression simplifiée quand $x$ tend vers $1$.

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Tu remarques une forme indéterminée $\frac{0}{0}$ en $x = 1$ . Pense à factoriser le numérateur $x^{2} - 1$ et utilise l'identité $x - 1 = (x - 1) (x + 1)$ pour faire apparaître le dénominateur.

Une fois factorisé, tu obtiens $g (x) = \frac{( x - 1 ) ( x + 1 ) ( x + 1 )}{x - 1}$ pour $x \neq = 1$ . Simplifie par $(x - 1)$ , puis calcule la limite de l'expression simplifiée quand $x$ tend vers $1$ .

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