Étude complète d'une fonction logarithme

Difficile
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Énoncé

Soit définie sur par .

  1. Calculer et .
  2. Étudier les variations de et dresser son tableau de variations.
  3. En déduire que pour tout .

Indices

— clique pour révéler
1 Indice 1
Pour la limite en $0^+$, examine separement le comportement de $x$ et de $-\\ln x$ ; pour la limite en $+\\infty$, factorise par $x$ et utilise la croissance comparee $\\dfrac{\\ln x}{x}\\to0$.
2 Indice 2
Calcule $f'(x)=1-\\dfrac{1}{x}$, mets-la sous forme d'une seule fraction, et etudie son signe selon que $x$ est inferieur ou superieur a $1$.
3 Indice 3
Utilise le tableau de variations pour identifier le minimum de $f$ (atteint en $x=1$) et calcule sa valeur exacte pour conclure sur le signe de $f$.

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La méthode — par où commencer

Pour la limite en , examine separement le comportement de et de ; pour la limite en , factorise par et utilise la croissance comparee .

Calcule , mets-la sous forme d'une seule fraction, et etudie son signe selon que est inferieur ou superieur a .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Équation ln(2x-1)=ln(x+3) Tous les exercices du chapitre Équation se ramenant au second degré (changement de variable)