Remboursements géométriques d'un emprunt

Pour rembourser un emprunt, une personne verse $5000$ DH la première année, puis chaque année elle verse $90\%$ du versement de l'année précédente. On note $a_n$ le versement de l'année $n$, avec $a_1=5000$.

1. Déterminer la nature de la suite $(a_n)$ et exprimer $a_n$ en fonction de $n$.
2. Calculer le montant total versé après $n$ années : $T_n=a_1+a_2+\cdots +a_n$.
3. Calculer $\underset{n\to +\infty }{\lim }{T}_n$ et interpréter.