Majoration par récurrence et monotonie pour u_0 = 5

Intermédiaire
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Énoncé

Soit définie par et pour tout .

  1. Démontrer par récurrence que pour tout : .
  2. Étudier le signe de et en déduire la monotonie de .
  3. Que peut-on en déduire pour la suite ?

Indices

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1 Indice 1
Pour la récurrence, commence par vérifier que $u_0 < 6$. Ensuite, suppose que $u_n < 6$ et multiplie cette inégalité par $\dfrac{1}{2}$, puis ajoute $3$ aux deux membres.
2 Indice 2
Pour étudier la monotonie, calcule $u_{n+1} - u_n = \dfrac{1}{2}u_n + 3 - u_n$. Mets $\dfrac{1}{2}$ en facteur et utilise le fait que tu as déjà prouvé $u_n < 6$.

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La méthode — par où commencer

Pour la récurrence, commence par vérifier que . Ensuite, suppose que et multiplie cette inégalité par , puis ajoute aux deux membres.

Pour étudier la monotonie, calcule . Mets en facteur et utilise le fait que tu as déjà prouvé .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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