Un retraité dispose d'un capital placé à 6% par an, mais il retire C = 1200 dirhams à la fin de chaque année. On note u n le capital (en dirhams) après n années, avec u 0 = 20000 et, pour tout n ∈ N : u n + 1 = 1 , 06 u n − 1200 . On pose v n = u n − 20000 . Montrer que ( v n ) est géométrique ; préciser raison et v 0 . En déduire u n en fonction de n , puis étudier la monotonie de ( u n ) . Déterminer n → + ∞ lim u n et interpréter (le capital s'épuise-t-il ?). Indication : le point fixe a vérifie a = 1 , 06 a − 1200 .

Compte avec retrait fixe : suite auxiliaire, somme et limite

Difficile

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Un retraité dispose d'un capital placé à $6%$ par an, mais il retire $C = 1200$ dirhams à la fin de chaque année. On note $u_{n}$ le capital (en dirhams) après $n$ années, avec $u_{0} = 20000$ et, pour tout $n \in N$ :

$u_{n + 1} = 1, 06 u_{n} - 1200$ .

On pose $v_{n} = u_{n} - 20000$ . Montrer que $(v_{n})$ est géométrique ; préciser raison et $v_{0}$ .
En déduire $u_{n}$ en fonction de $n$ , puis étudier la monotonie de $(u_{n})$ .
Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ et interpréter (le capital s'épuise-t-il ?).

Indication : le point fixe $a$ vérifie $a = 1, 06 a - 1200$ .

Indices

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1 Indice 1

Cherche d'abord le point fixe $a$ de la relation, c'est-à-dire la valeur telle que $a = 1{,}06\,a - 1200$ ; cela te donnera l'idée de la substitution.

2 Indice 2

Exprime $v_{n+1} = u_{n+1} - 20000$ en fonction de $u_n$, puis fais apparaître $1{,}06\,(u_n - 20000)$.

3 Indice 3

Une fois que tu connais $v_0$, la formule $v_n = v_0 \times q^n$ donne directement $u_n$ ; regarde ce qui se passe si $v_0 = 0$.

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Cherche d'abord le point fixe $a$ de la relation, c'est-à-dire la valeur telle que $a = 1, 06 a - 1200$ ; cela te donnera l'idée de la substitution.

Exprime $v_{n + 1} = u_{n + 1} - 20000$ en fonction de $u_{n}$ , puis fais apparaître $1, 06 (u_{n} - 20000)$ .

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