Soit ( u n ) définie par u 0 = 1 et u n + 1 = 0 , 6 u n + 2 pour tout n ∈ N . On pose v n = u n − 5 . Montrer que ( v n ) est géométrique de raison 0 , 6 . Exprimer v n puis u n en fonction de n . Déterminer la limite de ( u n ) .

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Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = 0, 6 u_{n} + 2$ pour tout $n \in N$ . On pose $v_{n} = u_{n} - 5$ .

Montrer que $(v_{n})$ est géométrique de raison $0, 6$ .
Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer la limite de $(u_{n})$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, calcule $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression, puis factorise pour faire apparaître $v_n = u_n - 5$.

2 Indice 2

Une fois $(v_n)$ géométrique trouvée, écris sa formule générale $v_n = v_0 \times (0{,}6)^n$. Calcule d'abord $v_0$, puis déduis $u_n$ en utilisant $u_n = v_n + 5$.

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Pour montrer que $(v_{n})$ est géométrique, calcule $v_{n + 1}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression, puis factorise pour faire apparaître $v_{n} = u_{n} - 5$ .

Une fois $(v_{n})$ géométrique trouvée, écris sa formule générale $v_{n} = v_{0} \times (0, 6)^{n}$ . Calcule d'abord $v_{0}$ , puis déduis $u_{n}$ en utilisant $u_{n} = v_{n} + 5$ .

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