On reprend la suite définie par u 0 = 1 et u n + 1 = 2 1 u n + 3 (revenu en milliers de dirhams). On pose, pour tout n ∈ N : v n = u n − 6 . Démontrer que ( v n ) est une suite géométrique ; préciser sa raison et v 0 . Exprimer v n puis u n en fonction de n . Calculer u 3 à l'aide de cette expression et retrouver la valeur attendue.

Suite auxiliaire $v_n = u_n - a$ (revenu vers un seuil)

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On reprend la suite définie par $u_{0} = 1$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ (revenu en milliers de dirhams). On pose, pour tout $n \in N$ : $v_{n} = u_{n} - 6$ .

Démontrer que $(v_{n})$ est une suite géométrique ; préciser sa raison et $v_{0}$ .
Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Calculer $u_{3}$ à l'aide de cette expression et retrouver la valeur attendue.

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1 Indice 1

Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, calcule $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression $\dfrac{1}{2}u_n + 3$, puis remplace $u_n$ par $v_n + 6$.

2 Indice 2

Une fois que tu as trouvé $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$, tu sais que $v_n = v_0 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$. Calcule $v_0$ avec $u_0 = 1$, puis déduis $u_n$ sachant que $u_n = v_n + 6$.

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Pour montrer que $(v_{n})$ est géométrique, calcule $v_{n + 1}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression $\frac{1}{2} u_{n} + 3$ , puis remplace $u_{n}$ par $v_{n} + 6$ .

Une fois que tu as trouvé $v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n}$ , tu sais que $v_{n} = v_{0} \times (\frac{1}{2})^{n}$ . Calcule $v_{0}$ avec $u_{0} = 1$ , puis déduis $u_{n}$ sachant que $u_{n} = v_{n} + 6$ .

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