Suite constante : démonstration par récurrence

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Soit la suite définie par et pour tout : .

  1. Calculer et .
  2. Émettre une conjecture sur la valeur de .
  3. Démontrer cette conjecture par récurrence.

Indices

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1 Indice 1
Commence par calculer $u_1$ en remplaçant $n$ par $0$ dans la relation de récurrence : $u_1 = 3u_0 - 4$. Fais de même pour trouver $u_2$. Que remarques-tu ?
2 Indice 2
Si tes calculs donnent toujours la même valeur, conjecture que $u_n$ est constante. Pour la récurrence, vérifie l'initialisation avec $u_0$, puis montre que si $u_n = ...$, alors $u_{n+1}$ vaut aussi cette valeur.

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La méthode — par où commencer

Commence par calculer en remplaçant par dans la relation de récurrence : . Fais de même pour trouver . Que remarques-tu ?

Si tes calculs donnent toujours la même valeur, conjecture que est constante. Pour la récurrence, vérifie l'initialisation avec , puis montre que si , alors vaut aussi cette valeur.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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Suite auxiliaire pour u_(n+1) = 3u_n - 4 Tous les exercices du chapitre Suite auxiliaire $v_n = u_n - a$ (revenu vers un seuil)