Remboursement d'un crédit : suite récurrente

Intermédiaire
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Énoncé

Une entreprise emprunte une somme dont le solde restant dû la première année est dirhams. Chaque année, le solde est majoré de d'intérêts puis l'entreprise rembourse dirhams. On note le solde dû au bout de années :

  1. Calculer et .
  2. On pose . Montrer que est géométrique de raison .
  3. Exprimer en fonction de .

Indices

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1 Indice 1
Pour calculer $C_1$ et $C_2$, applique directement la formule de récurrence : multiplie le solde par $1{,}04$, puis retire $9\,000$. Commence avec $C_0 = 50\,000$.
2 Indice 2
Pour montrer que $(w_n)$ est géométrique, calcule $w_{n+1}$ en remplaçant $C_{n+1}$ par sa formule, puis factorise par $1{,}04$ en cherchant le point fixe $x$ vérifiant $x = 1{,}04x - 9\,000$.

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La méthode — par où commencer

Pour calculer et , applique directement la formule de récurrence : multiplie le solde par , puis retire . Commence avec .

Pour montrer que est géométrique, calcule en remplaçant par sa formule, puis factorise par en cherchant le point fixe vérifiant .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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