Soit ( u n ) définie par u 0 = 5 et u n + 1 = 2 1 u n + 3 pour n ≥ 0 . On pose v n = u n − 6 . Montrer que ( v n ) est géométrique ; préciser sa raison et v 0 . Exprimer v n puis u n en fonction de n . Déterminer n → + ∞ lim u n .

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Intermédiaire

Énoncé

Soit $(u_{n})$ définie par $u_{0} = 5$ et $u_{n + 1} = \frac{1}{2} u_{n} + 3$ pour $n \geq 0$ . On pose $v_{n} = u_{n} - 6$ .

Montrer que $(v_{n})$ est géométrique ; préciser sa raison et $v_{0}$ .
Exprimer $v_{n}$ puis $u_{n}$ en fonction de $n$ .
Déterminer $n \to + \infty lim u_{n}$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $(v_n)$ est géométrique, calcule $v_{n+1}$ en remplaçant $u_{n+1}$ par son expression, puis factorise pour faire apparaître $v_n = u_n - 6$.

2 Indice 2

Une fois que tu as trouvé $v_{n+1} = \dfrac{1}{2}v_n$, tu connais la raison. Utilise ensuite la formule $v_n = v_0 \times q^n$ avec $v_0 = u_0 - 6$, puis déduis-en $u_n$ en isolant.

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Pour montrer que $(v_{n})$ est géométrique, calcule $v_{n + 1}$ en remplaçant $u_{n + 1}$ par son expression, puis factorise pour faire apparaître $v_{n} = u_{n} - 6$ .

Une fois que tu as trouvé $v_{n + 1} = \frac{1}{2} v_{n}$ , tu connais la raison. Utilise ensuite la formule $v_{n} = v_{0} \times q^{n}$ avec $v_{0} = u_{0} - 6$ , puis déduis-en $u_{n}$ en isolant.

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