Un modèle macroéconomique simplifié décrit la dette publique (en milliards de dirhams) par D 0 = 100 et D n + 1 = 1 , 03 D n − 5 pour tout n ∈ N , où n désigne le numéro de l'année. Le coefficient 1 , 03 traduit un taux d'intérêt annuel de 3% et 5 l'excédent budgétaire primaire annuel. Calculer D 1 et D 2 . Déterminer le réel ℓ tel que ℓ = 1 , 03 ℓ − 5 . On pose E n = D n − ℓ ; montrer que ( E n ) est géométrique. Exprimer D n en fonction de n . Étudier la monotonie de ( D n ) et déterminer sa limite. Conclure sur la soutenabilité de la dette.

Modèle de dette publique et soutenabilité

Difficile

Énoncé

Un modèle macroéconomique simplifié décrit la dette publique (en milliards de dirhams) par $D_{0} = 100$ et $D_{n + 1} = 1, 03 D_{n} - 5$ pour tout $n \in N$ , où $n$ désigne le numéro de l'année. Le coefficient $1, 03$ traduit un taux d'intérêt annuel de $3%$ et $5$ l'excédent budgétaire primaire annuel.

Calculer $D_{1}$ et $D_{2}$ .
Déterminer le réel $ℓ$ tel que $ℓ = 1, 03 ℓ - 5$ . On pose $E_{n} = D_{n} - ℓ$ ; montrer que $(E_{n})$ est géométrique.
Exprimer $D_{n}$ en fonction de $n$ .
Étudier la monotonie de $(D_{n})$ et déterminer sa limite. Conclure sur la soutenabilité de la dette.

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la question 1, applique directement la relation de récurrence $D_{n+1}=1{,}03D_n-5$ en partant de $D_0=100$.

2 Indice 2

Pour la question 2, résous $\\ell = 1{,}03\\ell - 5$, puis montre que $E_{n+1}=1{,}03E_n$ en soustrayant $\\ell = 1{,}03\\ell-5$ de la relation de récurrence.

3 Indice 3

Pour les questions 3 et 4, utilise la formule du terme général d'une suite géométrique pour exprimer $E_n$ puis $D_n=E_n+\\ell$ ; étudie le signe de $D_{n+1}-D_n$ et la limite de $(1{,}03)^n$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour la question 1, applique directement la relation de récurrence $D_{n + 1} = 1, 03 D_{n} - 5$ en partant de $D_{0} = 100$ .

Pour la question 2, résous $e l l = 1, 03 e l l - 5$ , puis montre que $E_{n + 1} = 1, 03 E_{n}$ en soustrayant $e l l = 1, 03 e l l - 5$ de la relation de récurrence.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Sens de variation d'une suite de coûts Tous les exercices du chapitre Suite auxiliaire et expression explicite

Modèle de dette publique et soutenabilité

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Modèle de dette publique et soutenabilité

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯