On veut fabriquer une boîte cylindrique fermée (avec couvercle) de volume 500 cm 3 . On note r (en cm) le rayon de base ; la hauteur vaut alors h = π r 2 500 . La surface totale (deux disques + surface latérale) est S ( r ) = 2 π r 2 + r 1000 , avec r > 0 . Déterminer le rayon r qui minimise la surface de métal utilisée.

Cylindre de surface totale minimale

Difficile

Énoncé

On veut fabriquer une boîte cylindrique fermée (avec couvercle) de volume $500 cm^{3}$ . On note $r$ (en cm) le rayon de base ; la hauteur vaut alors $h = \frac{500}{π r ^{2}}$ .

La surface totale (deux disques + surface latérale) est $S (r) = 2 π r^{2} + \frac{1000}{r}$ , avec $r > 0$ .

Déterminer le rayon $r$ qui minimise la surface de métal utilisée.

Indices

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1 Indice 1

Dérive $S(r)=2\\pi r^2+\\dfrac{1000}{r}$ par rapport à $r$.

2 Indice 2

Résous $S'(r)=0$ en mettant tout sur un même dénominateur pour trouver la valeur de $r^3$.

3 Indice 3

Vérifie le signe de $S'(r)$ avant et après cette valeur pour confirmer qu'il s'agit bien d'un minimum.

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Dérive $S (r) = 2 p i r^{2} + df r a c 1000 r$ par rapport à $r$ .

Résous $S^{'} (r) = 0$ en mettant tout sur un même dénominateur pour trouver la valeur de $r^{3}$ .

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