Dans un repère orthonormé, on donne A ( 0 ; 0 ; 0 ) , B ( 2 ; 1 ; 2 ) et C ( 1 ; − 2 ; 2 ) . Calculer A B ⋅ A C puis en déduire le cosinus de l'angle B A C .

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Dans un repère orthonormé, on donne $A (0; 0; 0)$ , $B (2; 1; 2)$ et $C (1; - 2; 2)$ .

Calculer $A B \cdot A C$ puis en déduire le cosinus de l'angle $B A C$ .

Indices

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1 Indice 1

Commence par déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$ en soustrayant les coordonnées : $\vec{AB}=B-A$ et $\vec{AC}=C-A$. Ensuite, applique la formule du produit scalaire avec les coordonnées.

2 Indice 2

Pour trouver le cosinus de l'angle, utilise la formule $\cos\widehat{BAC} = \dfrac{\vec{AB}\cdot\vec{AC}}{\|\vec{AB}\| \times \|\vec{AC}\|}$. Calcule d'abord les normes $\|\vec{AB}\|$ et $\|\vec{AC}\|$ avec la formule $\sqrt{x^2+y^2+z^2}$.

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Commence par déterminer les coordonnées des vecteurs $A B$ et $A C$ en soustrayant les coordonnées : $A B = B - A$ et $A C = C - A$ . Ensuite, applique la formule du produit scalaire avec les coordonnées.

Pour trouver le cosinus de l'angle, utilise la formule $cos B A C = \frac{A B \cdot A C}{∥ A B ∥ \times ∥ A C ∥}$ . Calcule d'abord les normes $∥ A B ∥$ et $∥ A C ∥$ avec la formule $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ .

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