Soit f ( x ) = x − ln ( x ) sur ] 0 , + ∞ [ . (a) Étudier les variations. (b) Montrer que ln ( x ) < x pour tout x > 0 , x  = 1 .

Étude complète avec ln

Difficile

Soit

f (x) = x - ln (x)

sur

] 0, + \infty [

. (a) Étudier les variations. (b) Montrer que

ln (x) < x

pour tout

x > 0

x \neq = 1

— clique pour révéler

1 Indice 1

Calcule $f'(x)$ et mets-la sous forme d'une seule fraction pour étudier facilement son signe.

2 Indice 2

Le signe de $f'(x)$ dépend du signe de $(x-1)$ sur $]0,+\infty[$ : détermine où $f$ décroît et où elle croît, puis identifie le minimum.

3 Indice 3

Calcule la valeur du minimum $f(1)$ et déduis-en le signe de $f(x)$ pour $x\neq 1$, ce qui donne directement l'inégalité demandée.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Calcule $f^{'} (x)$ et mets-la sous forme d'une seule fraction pour étudier facilement son signe.

Le signe de $f^{'} (x)$ dépend du signe de $(x - 1)$ sur $] 0, + \infty [$ : détermine où $f$ décroît et où elle croît, puis identifie le minimum.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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