Petit théorème de Fermat — application

Intermédiaire
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Énoncé

  1. Démontrer que pour tout entier non divisible par 7 : .
  2. En déduire les restes possibles de modulo 7 pour tout .
  3. Démontrer que 7 divise pour tout .

Indices

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1 Indice 1
Puisque 7 est un nombre premier et que $a$ n'est pas divisible par 7, pense au petit théorème de Fermat : que dit-il sur $a^{p-1}$ modulo $p$ ?
2 Indice 2
Pour la dernière question, factorise $n^7 - n$ en mettant $n$ en facteur. Ensuite, distingue deux cas : soit 7 divise $n$, soit 7 ne divise pas $n$, et utilise ce que tu viens de démontrer.

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La méthode — par où commencer

Puisque 7 est un nombre premier et que n'est pas divisible par 7, pense au petit théorème de Fermat : que dit-il sur modulo ?

Pour la dernière question, factorise en mettant en facteur. Ensuite, distingue deux cas : soit 7 divise , soit 7 ne divise pas , et utilise ce que tu viens de démontrer.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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