Divisibilité : n(n+1)(n+2) et n⁵−n

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Énoncé

  1. Montrer que pour tout , le produit est divisible par 6.
  2. Montrer que pour tout , est divisible par 30.

Indices

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1 Indice 1
Pour la première question, remarque que $n(n+1)(n+2)$ est le produit de trois entiers consécutifs. Pense à la divisibilité par 2 et par 3 séparément : que peux-tu dire sur ces trois nombres ?
2 Indice 2
Pour la deuxième question, commence par factoriser : $n^5 - n = n(n^4 - 1)$. Continue la factorisation en utilisant $a^2 - b^2$. Pour montrer la divisibilité par 30, étudie séparément les divisions par 2, 3 et 5.

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La méthode — par où commencer

Pour la première question, remarque que est le produit de trois entiers consécutifs. Pense à la divisibilité par 2 et par 3 séparément : que peux-tu dire sur ces trois nombres ?

Pour la deuxième question, commence par factoriser : . Continue la factorisation en utilisant . Pour montrer la divisibilité par 30, étudie séparément les divisions par 2, 3 et 5.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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