Nombre premier impair et divisibilité par 24

Difficile
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Énoncé

  1. Soit p un nombre premier impair. Montrer que est divisible par 24.
  2. Vérifier pour p = 7, p = 11, p = 13.

Indices

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1 Indice 1
Écris $p^2-1 = (p-1)(p+1)$ et remarque que $p$ impair implique que $p-1$ et $p+1$ sont deux pairs consécutifs.
2 Indice 2
Parmi deux pairs consécutifs, l'un est divisible par 4 : déduis-en que $8$ divise $(p-1)(p+1)$.
3 Indice 3
Pour la divisibilité par $3$, raisonne modulo 3 sur $p$ (avec $p \neq 3$) : $p \equiv 1$ ou $p \equiv -1 \pmod 3$, et regarde ce que cela donne pour $p-1$ ou $p+1$.

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La méthode — par où commencer

Écris et remarque que impair implique que et sont deux pairs consécutifs.

Parmi deux pairs consécutifs, l'un est divisible par 4 : déduis-en que divise .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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