Montrer que si a ≡ b ( mod n ) alors a 2 ≡ b 2 ( mod n ) . Résoudre dans Z : x 2 ≡ 1 ( mod 7 ) . Trouver toutes les solutions entières de x 2 ≡ 4 ( mod 15 ) .

Problème BAC : congruences au carré

Difficile

Énoncé

Montrer que si $a \equiv b (mod n)$ alors $a^{2} \equiv b^{2} (mod n)$ .
Résoudre dans $Z$ : $x^{2} \equiv 1 (mod 7)$ .
Trouver toutes les solutions entières de $x^{2} \equiv 4 (mod 15)$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour la question 1, utilise la définition de la congruence ($n \mid a-b$) et factorise $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

2 Indice 2

Pour la question 2, teste toutes les valeurs possibles $x = 0, 1, \ldots, 6$ modulo 7 et regarde lesquelles donnent un carré congru à 1.

3 Indice 3

Pour la question 3, remarque que $15 = 3 \times 5$ et utilise le théorème des restes chinois : résous $x^2 \equiv 4 \pmod 3$ et $x^2 \equiv 4 \pmod 5$ séparément, puis combine les solutions.

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Pour la question 1, utilise la définition de la congruence ( $n ∣ a - b$ ) et factorise $a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$ .

Pour la question 2, teste toutes les valeurs possibles $x = 0, 1, \dots, 6$ modulo 7 et regarde lesquelles donnent un carré congru à 1.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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