Équations diophantiennes

Difficile
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Énoncé

Résoudre l'équation diophantienne suivante : 7x + 5y = 1. Justifiez votre réponse.

Indices

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1 Indice 1
Applique l'algorithme d'Euclide à $7$ et $5$ pour calculer leur pgcd, cela confirme l'existence de solutions.
2 Indice 2
Remonte l'algorithme d'Euclide (relation de Bézout) pour exprimer $1$ comme combinaison $7x_0 + 5y_0$ : cela donne une solution particulière.
3 Indice 3
Une fois une solution particulière $(x_0,y_0)$ trouvée, les solutions générales s'obtiennent en ajoutant un multiple de $5$ à $x_0$ et en retranchant le multiple correspondant de $7$ à $y_0$.

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La méthode — par où commencer

Applique l'algorithme d'Euclide à et pour calculer leur pgcd, cela confirme l'existence de solutions.

Remonte l'algorithme d'Euclide (relation de Bézout) pour exprimer comme combinaison : cela donne une solution particulière.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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