Congruences et chiffre des unités d'une puissance

Exercice 3 — Congruences et puissances (Niveau : Intermédiaire)

On s'intéresse aux puissances de l'entier 7.

1. Calculer $7^1$, $7^2$, $7^3$, $7^4$ mod 10, puis $7^5$ mod 10. Que remarque-t-on ?
2. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n $\ge$ 1 :
   $7^{4n}$ $\equiv 1(\mathrm{mod}10)$.
3. En déduire le chiffre des unités de $7^{2023}$.
4. Déterminer le reste de la division de $7^{2023}$ + $3^{2023}$ par 10.