Dénombrement avec contraintes — Problème structuré

Exercice 5 — Tournoi sportif et formation d'équipes

Un club sportif de Marrakech organise un tournoi. Il dispose de 15 joueurs disponibles : 6 défenseurs, 5 milieux de terrain et 4 attaquants.

Partie A — Formation d'une équipe de 11 joueurs

1. Combien d'équipes de 11 joueurs peut-on former parmi les 15, sans aucune contrainte de poste ?
2. Combien d'équipes de 11 joueurs peut-on former comprenant exactement 4 défenseurs, 4 milieux et 3 attaquants ?
3. Combien d'équipes de 11 joueurs peut-on former comprenant au moins 3 attaquants (sachant qu'on ne peut pas avoir plus de 4 attaquants disponibles) ?

Partie B — Tirage au sort et capitanat

4. Parmi les 11 joueurs sélectionnés selon la composition de la question 2, on désigne un capitaine et un vice-capitaine (deux rôles distincts). Combien de choix sont possibles ?
5. On souhaite en plus former un groupe de 3 joueurs parmi les 11 (distincts du capitaine et du vice-capitaine) pour effectuer le tirage au sort. Combien de groupes peut-on former ?

Partie C — Démonstration combinatoire

6. Démontrer, par un argument combinatoire (double comptage), l'identité suivante pour tout entier $n\ge 1$ :
   $n\times C_{n-1}^{p-1}=p\times C_n^p$,  pour $1\le p\le n$.
7. En déduire que : $\sum _{k=1}^{n}k\times C_n^k=n\times 2^{n-1}$.