On pose a = 2 + 3 + i . Calculer ∣ a ∣ (on montrera que ∣ a ∣ = 6 + 2 ). Écrire a sous forme trigonométrique. En déduire les valeurs exactes de cos 12 π et sin 12 π .

Valeurs exactes de cos et sin de π/12

Difficile

Énoncé

On pose $a = 2 + 3 + i$ .

Calculer $∣ a ∣$ (on montrera que $∣ a ∣ = 6 + 2$ ).
Écrire $a$ sous forme trigonométrique.
En déduire les valeurs exactes de $cos \frac{π}{12}$ et $sin \frac{π}{12}$ .

Indices

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1 Indice 1

Calcule $|a|^2$ à partir de la partie réelle et imaginaire, puis identifie $(2+\\sqrt{3})^2+1$ à un carré de la forme $(\\sqrt{6}+\\sqrt{2})^2$.

2 Indice 2

Pour l'argument, calcule $\\tan(\\arg a) = \\dfrac{\\text{partie imaginaire}}{\\text{partie réelle}}$ et compare-le à une valeur connue de tangente.

3 Indice 3

Identifie ensuite les parties réelle et imaginaire de $a$ avec $|a|\\cos\\left(\\dfrac{\\pi}{12}\\right)$ et $|a|\\sin\\left(\\dfrac{\\pi}{12}\\right)$.

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Calcule $∣ a ∣^{2}$ à partir de la partie réelle et imaginaire, puis identifie $(2 + s q r t 3)^{2} + 1$ à un carré de la forme $(s q r t 6 + s q r t 2)^{2}$ .

Pour l'argument, calcule $t an (a r g a) = df r a c t e x t p a r t i e ima g inai r e t e x t p a r t i er \overset{e}{ˊ} e l l e$ et compare-le à une valeur connue de tangente.

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