Forme trigonométrique et valeurs exactes (7π/12)

Difficile
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Énoncé

On pose et .

  1. Montrer que , puis calculer .
  2. Écrire sous forme trigonométrique, en déduire celle de .
  3. En déduire les valeurs exactes de et .

Indices

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1 Indice 1
Développe $a = (1+i)b$ en utilisant $i^2 = -1$ pour retrouver la forme algébrique demandée, puis calcule $|a| = \sqrt{\text{Re}(a)^2+\text{Im}(a)^2}$.
2 Indice 2
Factorise $a$ par son module pour écrire $a = 4(\cos\theta + i\sin\theta)$, puis utilise $b = \dfrac{a}{1+i}$ en écrivant $1+i$ sous forme trigonométrique.
3 Indice 3
Identifie les parties réelle et imaginaire de la forme trigonométrique de $b$ avec sa forme algébrique donnée pour en déduire $\cos\frac{7\pi}{12}$ et $\sin\frac{7\pi}{12}$.

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La méthode — par où commencer

Développe en utilisant pour retrouver la forme algébrique demandée, puis calcule .

Factorise par son module pour écrire , puis utilise en écrivant sous forme trigonométrique.

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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