Dans un repère orthonormé, on donne A ( 1 ; 1 ) , B ( 5 ; 1 ) , C ( 5 ; 4 ) et D ( 1 ; 4 ) . Montrer que A B C D est un parallélogramme. Calculer A B et B C , puis montrer que l'angle en B est droit. Calculer les diagonales A C et B D et conclure sur la nature de A B C D .

Rectangle et calcul de diagonales

Difficile

Énoncé

Dans un repère orthonormé, on donne $A (1; 1)$ , $B (5; 1)$ , $C (5; 4)$ et $D (1; 4)$ .

Montrer que $A B C D$ est un parallélogramme.
Calculer $A B$ et $B C$ , puis montrer que l'angle en $B$ est droit.
Calculer les diagonales $A C$ et $B D$ et conclure sur la nature de $A B C D$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour montrer que $ABCD$ est un parallélogramme, calcule les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{DC}$ et compare-les.

2 Indice 2

Pour l'angle droit en $B$, calcule les longueurs $AB$, $BC$ et $AC$, puis applique la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$.

3 Indice 3

Pour conclure, calcule aussi $BD$ et compare-la à $AC$ : un parallélogramme avec un angle droit et des diagonales égales est un rectangle.

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Pour montrer que $A B C D$ est un parallélogramme, calcule les vecteurs $A B$ et $D C$ et compare-les.

Pour l'angle droit en $B$ , calcule les longueurs $A B$ , $B C$ et $A C$ , puis applique la réciproque du théorème de Pythagore dans le triangle $A B C$ .

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