On considère les fonctions f ( x ) = x 2 − 2 x et g ( x ) = x − 2 x . Déterminer D g et vérifier que pour tout x ∈ D g : g ( x ) = 1 + x − 2 2 . Résoudre algébriquement l'équation f ( x ) = g ( x ) .

Résolution algébrique d'une équation entre deux courbes

Difficile

Énoncé

On considère les fonctions $f (x) = x^{2} - 2 x$ et $g (x) = \frac{x}{x - 2}$ .

Déterminer $D_{g}$ et vérifier que pour tout $x \in D_{g}$ : $g (x) = 1 + \frac{2}{x - 2}$ .
Résoudre algébriquement l'équation $f (x) = g (x)$ .

Indices

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1 Indice 1

Le domaine de $g$ exclut la valeur qui annule le dénominateur $x-2$.

2 Indice 2

Pour vérifier la forme réduite, additionne $\dfrac{x-2}{x-2}$ et $\dfrac{2}{x-2}$ pour retrouver $g(x)$.

3 Indice 3

Pour résoudre $f(x)=g(x)$, multiplie par $x-2$ pour éliminer le dénominateur, puis factorise l'expression obtenue (cherche une factorisation du type $x\times(\ldots)^2 - \ldots$).

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Le domaine de $g$ exclut la valeur qui annule le dénominateur $x - 2$ .

Pour vérifier la forme réduite, additionne $\frac{x - 2}{x - 2}$ et $\frac{2}{x - 2}$ pour retrouver $g (x)$ .

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