1) Les racines d'un trinôme a x 2 + b x + c sont x 1 = 3 et x 2 = − 1 . Trouver le trinôme si a = 2 . 2) On sait que x 1 + x 2 = 5 et x 1 × x 2 = 6 . Trouver x 1 et x 2 , puis le trinôme. 3) Montrer que si x 1 et x 2 sont les racines de x 2 + p x + q = 0 , alors x 1 2 + x 2 2 = p 2 − 2 q .

Relations coefficients-racines et reconstruction

Intermédiaire

Énoncé

1) Les racines d'un trinôme $a x^{2} + b x + c$ sont $x_{1} = 3$ et $x_{2} = - 1$ . Trouver le trinôme si $a = 2$ .

2) On sait que $x_{1} + x_{2} = 5$ et $x_{1} \times x_{2} = 6$ . Trouver $x_{1}$ et $x_{2}$ , puis le trinôme.

3) Montrer que si $x_{1}$ et $x_{2}$ sont les racines de $x^{2} + p x + q = 0$ , alors $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = p^{2} - 2 q$ .

Indices

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1 Indice 1

Pense aux relations de Viète : pour un trinôme $ax^2 + bx + c$, la somme des racines vaut $x_1 + x_2 = -\dfrac{b}{a}$ et leur produit vaut $x_1 \times x_2 = \dfrac{c}{a}$.

2 Indice 2

Calcule d'abord la somme $x_1 + x_2$ et le produit $x_1 \times x_2$ avec les valeurs données, puis utilise $a = 2$ pour trouver $b$ et $c$. Pour la question 2, ces deux nombres sont racines d'une équation du second degré que tu peux former.

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Pense aux relations de Viète : pour un trinôme $a x^{2} + b x + c$ , la somme des racines vaut $x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ et leur produit vaut $x_{1} \times x_{2} = \frac{c}{a}$ .

Calcule d'abord la somme $x_{1} + x_{2}$ et le produit $x_{1} \times x_{2}$ avec les valeurs données, puis utilise $a = 2$ pour trouver $b$ et $c$ . Pour la question 2, ces deux nombres sont racines d'une équation du second degré que tu peux former.

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