La suite de Fibonacci est définie par : F 0 = 0 , F 1 = 1 , F n + 2 = F n + 1 + F n pour tout n ≥ 0 . 1) Calculer F 2 , F 3 , F 4 , F 5 , F 6 . 2) Vérifier que F 1 + F 2 + … + F n = F n + 2 − 1 pour n = 5 . 3) Calculer le rapport F 6 / F 5 et F 5 / F 4 . Ces rapports tendent vers le nombre d'or φ ≈ 1 , 618 .

Suite de Fibonacci

Intermédiaire

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La suite de Fibonacci est définie par : $F_{0} = 0$ , $F_{1} = 1$ , $F_{n + 2} = F_{n + 1} + F_{n}$ pour tout $n \geq 0$ .

1) Calculer $F_{2}$ , $F_{3}$ , $F_{4}$ , $F_{5}$ , $F_{6}$ .
2) Vérifier que $F_{1} + F_{2} + \dots + F_{n} = F_{n + 2} - 1$ pour $n = 5$ .
3) Calculer le rapport $F_{6} / F_{5}$ et $F_{5} / F_{4}$ . Ces rapports tendent vers le nombre d'or $φ \approx 1, 618$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour calculer chaque terme, applique la formule de récurrence : ajoute les deux termes précédents. Commence par $F_2 = F_1 + F_0$, puis continue avec $F_3 = F_2 + F_1$, et ainsi de suite.

2 Indice 2

Pour la question 2, calcule d'abord la somme $F_1 + F_2 + F_3 + F_4 + F_5$ en additionnant les valeurs trouvées. Ensuite, calcule $F_7$ avec la formule de récurrence, puis vérifie si $F_7 - 1$ donne le même résultat.

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Pour calculer chaque terme, applique la formule de récurrence : ajoute les deux termes précédents. Commence par $F_{2} = F_{1} + F_{0}$ , puis continue avec $F_{3} = F_{2} + F_{1}$ , et ainsi de suite.

Pour la question 2, calcule d'abord la somme $F_{1} + F_{2} + F_{3} + F_{4} + F_{5}$ en additionnant les valeurs trouvées. Ensuite, calcule $F_{7}$ avec la formule de récurrence, puis vérifie si $F_{7} - 1$ donne le même résultat.

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