📊 Logarithme & exponentielle Question sur 3,75 pts

Étudier une fonction avec un logarithme

Domaine, limites, dérivée, tableau de variations : chaque étape de l'étude d'une fonction avec ln rapporte ses points.

📋 L'énoncé

On considère la fonction numérique $f$ définie sur son domaine par $f (x) = x - ln x$ .

Déterminer le domaine de définition $D_{f}$ de $f$ .
Calculer $x \to 0^{+} lim f (x)$ et $x \to + \infty lim f (x)$ , puis interpréter géométriquement le résultat en $0^{+}$ .
Calculer $f^{'} (x)$ pour tout $x \in D_{f}$ et étudier son signe.
Dresser le tableau de variations de $f$ et en déduire le minimum de $f$ sur $D_{f}$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

$ln x$ existe si et seulement si $x > 0$ , donc $D_{f} =] 0; + \infty [$ .
+0,5

💡 Le domaine est la toute première chose vérifiée : la condition $x > 0$ imposée par $ln x$ donne le point quasi automatiquement.
2

$x \to 0^{+} lim x = 0$ et $x \to 0^{+} lim ln x = - \infty$ , donc $x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 La limite en $0^{+}$ se traite par somme : $0 - (- \infty) = + \infty$ . Aucune forme indéterminée, le point tombe si la limite de $ln$ est connue.
3

On interprète : la droite d'équation $x = 0$ (axe des ordonnées) est une asymptote verticale à la courbe.
+0,25

💡 L'interprétation géométrique de la limite infinie en $0^{+}$ est notée à part : une phrase suffit.
4

$f (x) = x (1 - \frac{ln x}{x})$ et $x \to + \infty lim \frac{ln x}{x} = 0$ (croissances comparées), donc $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ .
+0,5

💡 La limite en $+ \infty$ est une forme indéterminée $\infty - \infty$ levée par les croissances comparées : citer $lim \frac{l n x}{x} = 0$ rapporte le point.
5

$f$ est dérivable sur $] 0; + \infty [$ et $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ .
+0,5

💡 Le calcul de la dérivée est indépendant du reste : il est noté même si l'étude du signe est ensuite ratée.
6

Comme $x > 0$ , le signe de $f^{'} (x)$ est celui de $x - 1$ : $f^{'} (x) < 0$ sur $] 0; 1 [$ et $f^{'} (x) > 0$ sur $] 1; + \infty [$ , avec $f^{'} (1) = 0$ .
+0,5

💡 L'étude du signe découle de la dérivée : on isole le facteur $x - 1$ car $x > 0$ . Le point critique $x = 1$ est l'élément clé du tableau.
7

$f$ admet un minimum en $x = 1$ valant $f (1) = 1 - ln 1 = 1$ .
+0,25

💡 Calculer la valeur de l'extremum $f (1) = 1$ est un point distinct du repérage du point critique.
8

Tableau de variations : $f$ décroissante sur $] 0; 1]$ de $+ \infty$ à $1$ , puis croissante sur $[1; + \infty [$ de $1$ à $+ \infty$ .
+0,5

💡 Le tableau de variations synthétise limites, signe de $f^{'}$ et extremum : bien présenté avec flèches et valeurs aux bornes, il rapporte son point.
9

Conclusion : pour tout $x \in] 0; + \infty [$ , $f (x) \geq 1$ , donc $f$ est minorée par $1$ .
+0,25

💡 La conclusion exploitant le minimum (inégalité $f (x) \geq 1$ ) valorise l'étude et prépare souvent une question ultérieure.

Total de la question 3,75 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

L'étude d'une fonction est le problème le plus découpable du barème : chaque étape est notée indépendamment, même si tu bloques sur une question.

Le domaine est un point gratuit : dès que tu vois $ln x$ , écris « $ln x$ existe pour $x > 0$ donc $D_{f} =] 0; + \infty [$ ». C'est noté à coup sûr.
Chaque limite rapporte seule : même si tu rates la limite en $+ \infty$ , celle en $0^{+}$ te donne son point. Traite-les séparément et cite toujours $x \to + \infty lim \frac{l n x}{x} = 0$ .
Le calcul de $f^{'} (x)$ est indépendant du signe : écris $f^{'} (x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}$ proprement ; tu gardes ce point même si tu te trompes ensuite sur le signe.
Le tableau bien présenté est noté : flèches, valeurs aux bornes et au point critique. Reporte-y tout ce que tu as trouvé, c'est la vitrine de ton travail.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version « variations sans justifier » (≈ moitié des points) : l'élève écrit directement « $f$ décroît puis croît, minimum en $1$ » et dessine un tableau, sans donner $D_{f}$ , sans calculer les limites aux bornes et sans expliciter le signe de $f^{'}$ . Le correcteur ne peut créditer que le squelette du tableau : les points du domaine, des deux limites et de la justification du signe sont perdus.

Version complète : on pose $D_{f} =] 0; + \infty [$ , on calcule $x \to 0^{+} lim f (x) = + \infty$ et $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ avec justification (croissances comparées), on dérive $f^{'} (x) = \frac{x - 1}{x}$ , on étudie son signe à partir de $x - 1$ (car $x > 0$ ), puis on dresse le tableau et on conclut $f (x) \geq 1$ . Chaque maillon est justifié : le barème est récupéré en entier.