📐 Géométrie dans l'espace Question sur 3,75 pts

Équation d'un plan et distance d'un point

Vecteurs, produit vectoriel, équation cartésienne du plan, distance d'un point : où tombent les points.

📋 L'énoncé

Dans l'espace muni d'un repère orthonormé direct $(O, i, j, k)$ , on considère les points $A (1, 0, 2)$ , $B (3, 1, 2)$ , $C (1, 2, 4)$ et $D (4, 3, 1)$ .

1) Déterminer une équation cartésienne du plan $(A B C)$ .

2) Calculer la distance du point $D$ au plan $(A B C)$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

On calcule les vecteurs directeurs : $A B (2, 1, 0)$ et $A C (0, 2, 2)$ .
+0,5

💡 Deux vecteurs du plan, non colinéaires : c'est le socle de toute la suite. Le correcteur valide dès que les soustractions de coordonnées sont justes.
2

On pose $n = A B \land A C$ comme vecteur normal au plan.
+0,25

💡 Annoncer que le produit vectoriel donne un vecteur normal montre qu'on a la bonne stratégie : point de méthode garanti même avant tout calcul.
3

Calcul composante par composante : $n (1 \times 2 - 0 \times 2, 0 \times 0 - 2 \times 2, 2 \times 2 - 1 \times 0)$ soit $n (2, - 4, 4)$ .
+0,75

💡 Le coeur de l'exercice. Chaque composante correcte est créditée ; on peut simplifier par $2$ en $n (1, - 2, 2)$ pour alléger la suite.
4

On en déduit la forme de l'équation : $x - 2 y + 2 z + d = 0$ avec $(1, - 2, 2)$ les coordonnées de $n$ .
+0,5

💡 Relier les coefficients $(a, b, c)$ aux composantes du vecteur normal est exactement ce que le correcteur attend ici.
5

On injecte $A (1, 0, 2)$ : $1 - 0 + 4 + d = 0 \Rightarrow d = - 5$ . D'où $(A B C) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ .
+0,5

💡 Déterminer $d$ avec un point du plan finit la question 1. L'équation complète est exigée pour les points pleins.
6

On énonce la formule : $d (D, (A B C)) = \frac{∣ a x _{D} + b y _{D} + c z _{D} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ .
+0,5

💡 La formule juste, avec valeur absolue au numérateur et norme de $n$ au dénominateur, rapporte avant même tout calcul numérique.
7

Application : $\frac{∣ 4 - 2 \times 3 + 2 \times 1 - 5 ∣}{1 ^{2} + ( - 2 ) ^{2} + 2 ^{2}} = \frac{∣ - 5 ∣}{9}$ .
+0,5

💡 Substitution correcte des coordonnées de $D$ et de $d$ , puis simplification de la norme $9 = 3$ : calcul propre, points acquis.
8

Conclusion : $d (D, (A B C)) = \frac{5}{3}$ .
+0,25

💡 Le résultat final encadré conclut proprement et sécurise le dernier quart de point.

Total de la question 3,75 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même sans aller jusqu'au bout, la moitié des points se ramasse sur la méthode :

Calculer correctement $A B$ et $A C$ : deux soustractions de coordonnées, jamais zéro point si c'est juste.
Écrire $n = A B \land A C$ et l'annoncer comme vecteur normal : c'est LE point clé de l'exercice, même si le calcul des composantes dérape ensuite.
Poser la formule $d (D, (A B C)) = \frac{∣ a x _{D} + b y _{D} + c z _{D} + d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ AVANT l'application numérique : la formule seule est créditée, même si tu n'as pas le bon $n$ .
Pense à simplifier $n (2, - 4, 4)$ en $(1, - 2, 2)$ : calculs plus légers, moins d'erreurs d'étourderie.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version « moitié des points » : l'élève trouve bien $(A B C) : x - 2 y + 2 z - 5 = 0$ , mais écrit la distance comme $\frac{a x _{D} + b y _{D} + c z _{D} + d}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}$ — sans valeur absolue et avec $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ au lieu de $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ . Résultat faux, formule fausse : la question 2 s'effondre.

Version complète : valeur absolue au numérateur, $a^{2} + b^{2} + c^{2}$ au dénominateur, substitution explicite des coordonnées de $D$ , puis $d (D, (A B C)) = \frac{5}{3}$ encadré. Une formule posée proprement protège tous les points de calcul qui suivent.