🌀 Équations différentielles Question sur 4 pts

Résoudre une équation différentielle (2nd ordre)

Équation caractéristique, forme générale, conditions initiales : où le correcteur place chaque point.

📋 L'énoncé

On considère l'équation différentielle (E) : $y^{''} - 5 y^{'} + 6 y = 0$ , où $y$ est une fonction deux fois dérivable sur $R$ .

1) Résoudre l'équation différentielle (E).

2) Déterminer la solution $f$ de (E) qui vérifie $f (0) = 1$ et $f^{'} (0) = 0$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

On écrit l'équation caractéristique associée à (E) : $r^{2} - 5 r + 6 = 0$ .
+0,5

💡 C'est le point d'entrée du cours : associer à (E) son équation caractéristique est un automatisme que le correcteur récompense d'office.
2

On calcule le discriminant : $Δ = (- 5)^{2} - 4 \times 6 = 25 - 24 = 1$ , donc $Δ > 0$ .
+0,5

💡 Le signe de $Δ$ décide de la forme des solutions ; le calcul justifie le cas réel choisi ensuite.
3

On détermine les racines : $r_{1} = \frac{5 - 1}{2} = 2$ et $r_{2} = \frac{5 + 1}{2} = 3$ .
+0,5

💡 Deux racines réelles distinctes : c'est le résultat technique central de la question 1.
4

On donne la forme générale des solutions : $y = A e^{2 x} + B e^{3 x}$ , avec $A \in R$ et $B \in R$ .
+0,5

💡 Écrire correctement la forme $y = A e^{r_{1} x} + B e^{r_{2} x}$ clôt la question 1 et vaut un point entier même si les constantes restent libres.
5

On traduit $f (0) = 1$ : $A e^{0} + B e^{0} = A + B = 1$ .
+0,5

💡 Première équation du système : substituer $x = 0$ dans $f$ est mécanique et rapporte sans calcul difficile.
6

On dérive $f$ puis on traduit $f^{'} (0) = 0$ : $f^{'} (x) = 2 A e^{2 x} + 3 B e^{3 x}$ , d'où $2 A + 3 B = 0$ .
+0,5

💡 Deuxième équation : la dérivée correcte et la substitution donnent le système complet, étape la plus valorisée.
7

On résout le système $(A + B = 1; 2 A + 3 B = 0)$ : on obtient $B = - 2$ et $A = 3$ .
+0,5

💡 La résolution du système détermine entièrement les constantes ; sans elle, la solution n'est pas explicite.
8

On conclut : $f (x) = 3 e^{2 x} - 2 e^{3 x}$ .
+0,5

💡 La conclusion explicite, vérifiable par $f (0) = 1$ et $f^{'} (0) = 0$ , valide toute la question 2.

Total de la question 4 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Même bloqué, ce sujet est une mine de points faciles si tu connais le réflexe :

Écris l'équation caractéristique $r^{2} - 5 r + 6 = 0$ tout de suite : c'est un point quasi automatique, aucune réflexion nécessaire.
Donne la forme générale $y = A e^{2 x} + B e^{3 x}$ même sans connaître $A$ et $B$ : le correcteur paie la forme, pas seulement les constantes finales.
Pose le système des conditions initiales même sans le résoudre : écrire $A + B = 1$ et $2 A + 3 B = 0$ rapporte déjà, et une simple erreur de calcul dans la résolution ne te fait perdre que la dernière ligne.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version bâclée (≈ moitié des points) : « $r^{2} - 5 r + 6 = 0$ , racines $2$ et $3$ , donc $y = A e^{2 x} + B e^{3 x}$ . » L'élève s'arrête là, ne traite pas les conditions initiales : la question 1 est validée, mais toute la question 2 (système et solution explicite) est perdue.

Version complète (tous les points) : équation caractéristique → discriminant → racines → forme générale → traduction de $f (0) = 1$ et $f^{'} (0) = 0$ en système → résolution ( $A = 3$ , $B = - 2$ ) → conclusion $f (x) = 3 e^{2 x} - 2 e^{3 x}$ . Chaque flèche est une ligne payée ; la solution finale, vérifiable, scelle la note maximale.