🧱 Structures algébriques Question sur 2,5 pts

Montrer qu'une partie est un sous-groupe

Chaque axiome du critère de sous-groupe vérifié rapporte ses points, même séparément.

📋 L'énoncé

On munit $R^{*}$ de la multiplication usuelle $\times$ . On admet que $(R^{*}, \times)$ est un groupe d'élément neutre $1$ . On considère la partie $H = {2^{n} : n \in Z}$ .

Montrer que $(H, \times)$ est un sous-groupe de $(R^{*}, \times)$ .

🔍 Le barème, ligne par ligne où va chaque point

1

Justifier que $H \subset R^{*}$ : pour tout $n \in Z$ , $2^{n} > 0$ donc $2^{n} \in R^{*}$ .
+0,25

💡 Vérifier l'inclusion $H \subset G$ est exigé : sans elle, parler de sous-groupe n'a pas de sens.
2

Montrer que $H \neq = \emptyset$ : l'élément neutre $1 = 2^{0}$ s'écrit sous la forme voulue, donc $1 \in H$ .
+0,5

💡 Exhiber le neutre dans $H$ prouve à la fois que $H \neq = \emptyset$ et prépare la structure : un point quasi automatique.
3

Prendre deux éléments quelconques de $H$ : soit $x, y \in H$ , il existe $n, m \in Z$ tels que $x = 2^{n}$ et $y = 2^{m}$ .
+0,25

💡 Poser correctement deux éléments génériques avec leurs écritures est la base de toute preuve de stabilité.
4

Calculer l'inverse de $y$ : $y^{- 1} = 2^{- m}$ avec $- m \in Z$ , donc $y^{- 1} \in H$ .
+0,5

💡 La stabilité par passage à l'inverse est un axiome à part entière du critère et rapporte ses points isolément.
5

Montrer la stabilité : $x \times y^{- 1} = 2^{n} \times 2^{- m} = 2^{n - m}$ avec $n - m \in Z$ , donc $x \times y^{- 1} \in H$ .
+0,5

💡 C'est le cœur du critère en une étape $\forall x, y \in H, x \times y^{- 1} \in H$ : la ligne la plus valorisée.
6

Énoncer le critère utilisé : $H$ est non vide et $\forall x, y \in H, x \times y^{- 1} \in H$ .
+0,25

💡 Nommer explicitement le critère du sous-groupe montre la maîtrise du cours et rapporte un point.
7

Conclure : donc $(H, \times)$ est un sous-groupe de $(R^{*}, \times)$ .
+0,25

💡 La phrase de conclusion ferme le raisonnement ; elle est notée même si une étape intermédiaire a été bâclée.

Total de la question 2,5 points

🪙 Bloqué ? Voici comment grappiller des points

Sur une preuve de sous-groupe, les points sont distribués ligne par ligne : tu n'as pas besoin de tout réussir pour grappiller.

Place le neutre en premier : écrire que $1 = 2^{0} \in H$ donc $H \neq = \emptyset$ est presque automatique et vaut souvent $0, 5$ point.
Énonce le critère : écrire $\forall x, y \in H, x \times y^{- 1} \in H$ rapporte un point même avant tout calcul, car cela prouve que tu connais le cours.
Vérifie chaque axiome séparément : si tu rates la stabilité par produit, l'inverse $y^{- 1} \in H$ et l'inclusion $H \subset G$ restent acquis indépendamment.

✍️ La même réponse, mal puis bien rédigée

Version partielle (≈ moitié des points) : l'élève écrit seulement « si $x = 2^{n}$ et $y = 2^{m}$ alors $x \times y = 2^{n + m} \in H$ », sans vérifier que $H \neq = \emptyset$ ni que $y^{- 1} \in H$ . Le correcteur valide la stabilité par produit mais retire les points du neutre et de l'inverse.

Version complète : elle vérifie $H \subset R^{*}$ , exhibe $1 = 2^{0} \in H$ (donc $H \neq = \emptyset$ ), pose $x, y \in H$ génériques, montre $y^{- 1} \in H$ puis $x \times y^{- 1} \in H$ , et conclut par le critère. Tous les points du barème sont sécurisés.