Le dénombrement — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. مبادئ أساسية

المبدأ الإضافي: إذا كانت A و B مجموعتين منفصلتين، فإن $Card (A \cup B) = Card (A) + Card (B)$
المبدأ التجميعي: $Card (A \times B) = Card (A) \times Card (B)$

II. الترتيبات (التباديل)

ترتيبات n عنصرا

$n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 2 \times 1$

$0! = 1$

III. الترتيبات بدون تكرار

$A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!} = n (n - 1) \dots (n - p + 1)$

IV. التأليفات

المعامل الثنائي

$C_{n}^{p} = (p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$

$C_{n}^{0} = C_{n}^{n} = 1$ ؛ $C_{n}^{1} = n$ ؛ $C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$

مثلث باسكال: $C_{n + 1}^{p} = C_{n}^{p - 1} + C_{n}^{p}$

V. صيغة ثنائي الحد لنيوتن

$(a + b)^{n} = k = 0 \sum n C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$

📈 Figure clé

Arbre de dénombrement

🔑 Formules clés à retenir

$n! = n \times (n - 1) \times \dots \times 1$
$A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!}$
$C_{n}^{p} = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$
$(a + b)^{n} = \sum C_{n}^{k} a^{n - k} b^{k}$

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

الخلط بين الترتيبات والتوافيق: الترتيبات $A_{n}^{p}$ تأخذ بعين الاعتبار الـترتيب، أما التوافيق $C_{n}^{p}$ فلا. "اختيار رئيس ثم أمين" = ترتيب؛ "اختيار لجنة مكونة من 2" = توفيقة.

❌

نسيان أن 0! = 1: حسب التعريف، 0! = 1 (وليس 0). هذا ضروري في الصيغ $C_{n}^{0} = n! / (0! \cdot n!) = 1$ .

❌

صيغة ثنائي الحد لنيوتن: الخلط بين الأسس: في $(a + b)^{n}$ ، الحد العام هو $C_{n}^{k} \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}$ . أس a يتناقص، وأس b يتزايد. مجموعهما يساوي دائمًا n.

🟢 نصائح احترافية

✅

مثلث باسكال لتجنب الحسابات: $C_{n + 1}^{p} = C_{n}^{p - 1} + C_{n}^{p}$ . أنشئ الأسطر الأولى لتجد بسرعة المعاملات الثنائية.

✅

$C_{n}^{p} = C_{n}^{n - p}$ : اختيار p عنصر من بين n يعادل اختيار n−p عنصر التي لا نأخذها. استخدم هذا التناظر لتبسيط الحسابات.

💡

طريقة الحالات: من أجل "على الأقل واحد"، احسب المكمل: P(على الأقل 1) = المجموع الكلي − P(لا شيء). مثال: لجان تضم امرأة واحدة على الأقل = المجموع الكلي − لجان بدون نساء.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — العد

النوع 1: اختيار النموذج المناسب (الترتيب؟ التكرار؟)

متى؟ قبل أي حساب: تحديد ما إذا كنا بحاجة إلى $p$ -قائمة، ترتيب، تبديل أو توافيق.

اسأل نفسك: هل الترتيب مهم؟ إذا لا $\to$ توافيق.
إذا كان الترتيب مهماً، اسأل: هل يمكن تكرار عنصر؟ إذا نعم $\to$ $p$ -قائمة؛ إذا لا $\to$ ترتيب.
إذا كنا نرتب جميع عناصر مجموعة دون تكرار $\to$ تبديل.
اكتب الصيغة المقابلة قبل الحساب.

مثال سريع: رمز من $4$ أرقام من بين $0$ – $9$ مع التكرار $\to$ $p$ -قائمة: $1 0^{4}$ . منصة تتويج لـ $3$ من بين $8$ عدائين $\to$ ترتيب: $A_{8}^{3}$ .

النوع 2: عد $p$ -قوائم (ترتيب + تكرار)

متى؟ نختار $p$ عناصر من بين $n$ ، الترتيب مهم ويمكن تكرار عنصر (سحوبات متتالية مع الإرجاع).

لاحظ أنه في كل موضع لدينا نفس $n$ اختيارات ممكنة.
طبق الصيغة: عدد $p$ -قوائم $= n^{p}$ .
إذا وجدت قيود (الرقم الأول غير صفري...)، عالج كل موضع على حدة ثم اضرب.
استنتج بالجداء المحصل عليه.

مثال سريع: عدد الكلمات من $3$ أحرف مكونة من أبجدية من $26$ حرفاً: $2 6^{3} = 17576$ .

النوع 3: عد الترتيبات (ترتيب، بدون تكرار)

متى؟ نختار ونرتب $p$ عناصر متمايزة من بين $n$ (سحوبات متتالية بدون إرجاع).

تحقق من أن $p \leq n$ وأنه لا يُسمح بأي تكرار.
طبق: $A_{n}^{p} = \frac{n !}{( n - p )!} = n (n - 1) \dots (n - p + 1)$ ( $p$ عوامل تنازلية).
للقيود (عنصر مثبت في مكان)، ضع أولاً العناصر المفروضة ثم رتب الباقي.
استنتج بالقيمة العددية.

مثال سريع: عدد طرق ترتيب $3$ تلاميذ من بين $5$ : $A_{5}^{3} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ .

النوع 4: عد التبديلات (ترتيب الكل)

متى؟ نرتب مجموع $n$ عناصر متمايزة في ترتيب معين.

اعترف بأن التبديل هو ترتيب مع $p = n$ .
طبق: عدد التبديلات $= n!$ .
إذا كان يجب أن تبقى بعض العناصر مجمعة، عامل الكتلة كعنصر واحد، ثم اضرب في التبديلات الداخلية للكتلة.
للمواضع الممنوعة، اطرح الحالات غير المرغوبة.

مثال سريع: ترتيب $5$ كتب متمايزة على رف: $5! = 120$ طريقة.

النوع 5: عد التوافيق (بدون ترتيب)

متى؟ نختار مجموعة جزئية من $p$ عناصر من بين $n$ دون الأخذ بعين الاعتبار الترتيب (سحب متزامن).

تأكد من أن الترتيب لا يتدخل («اختيار فريق»، «سحب متزامن»).
طبق: $(p n) = \frac{n !}{p ! ( n - p )!}$ .
للشروط («على الأقل...»، «بالضبط...»)، قسّم إلى فئات واضرب/اجمع حسب الحالات.
استنتج بمجموع الحالات المواتية.

مثال سريع: اختيار $2$ مندوبين من بين $10$ تلاميذ: $(2 10) = \frac{10 \times 9}{2} = 45$ .

النوع 6: استخدام خصائص المعاملات $(p n)$

متى؟ يُطلب تبسيط، إثبات مساواة، أو حساب دون تطوير جميع المضروبات.

التماثل: $(p n) = (n - p n)$ (اختر الأصغر $p$ للحساب).
علاقة باسكال: $(p n) + (p + 1 n) = (p + 1 n + 1)$ .
قيم خاصة: $(0 n) = (n n) = 1$ و $(1 n) = n$ .
حدد أي خاصية تحول التعبير نحو الشكل المطلوب.

مثال سريع: $(10 12) = (2 12) = 66$ بفضل التماثل.

النوع 7: العد مع «على الأقل» / «على الأكثر» (المتمم)

متى؟ يحتوي النص على «على الأقل واحد...»، «على الأكثر...» أو «يوجد على الأقل...».

حدد المجموعة الكلية $E$ وعددها $card (E)$ .
حدد الحدث المعاكس (غالباً «لا شيء» أسهل للعد).
طبق: $card (على الأقل واحد) = card (E) - card (لا شيء)$ .
للحالات الأدق («بالضبط $k$ »)، اجمع التوافيق حسب الفئة.

مثال سريع: سحب $3$ أوراق من بين $32$ مع «على الأقل ملك واحد»: $(3 32) - (3 28)$ .

النوع 8: سحوبات مركبة حسب الفئات (مبدأ الضرب)

متى؟ نختار عناصر من عدة مجموعات متمايزة في نفس الوقت (مثلاً عدد من الأولاد وعدد من البنات).

افصل المجموعة إلى فئات منفصلة (مثلاً $g$ أولاد، $f$ بنات).
عد الاختيارات في كل فئة بتوافيق.
اضرب النتائج (مبدأ الضرب) لسحب متزامن.
إذا كانت عدة توزيعات مناسبة، اجمع جميع الحالات.

مثال سريع: تشكيل لجنة من $2$ أولاد و $3$ بنات من بين $5$ أولاد و $6$ بنات: $(2 5) (3 6) = 10 \times 20 = 200$ .

Le dénombrement — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

79 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 79 corrigés

Exercices Faciles

29 exercices

حساب وتبسيط العاملي

Facile

Énoncé

احسب التعابير التالية مع إعطاء النتيجة على شكل عدد صحيح:

A = $6! - 2 \times 5!$
B = $8! / (6! \times 2!)$
C = $15! /13!$
D = $(n + 2)! / n!$ (عبر بدلالة n)

Ma réponse

Le dénombrement

Le dénombrement — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. مبادئ أساسية

II. الترتيبات (التباديل)

ترتيبات n عنصرا

III. الترتيبات بدون تكرار

IV. التأليفات

المعامل الثنائي

V. صيغة ثنائي الحد لنيوتن

📈 Figure clé

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — العد

النوع 1: اختيار النموذج المناسب (الترتيب؟ التكرار؟)

النوع 2: عد p-قوائم (ترتيب + تكرار)

النوع 3: عد الترتيبات (ترتيب، بدون تكرار)

النوع 4: عد التبديلات (ترتيب الكل)

النوع 5: عد التوافيق (بدون ترتيب)

النوع 6: استخدام خصائص المعاملات (pn​)

النوع 7: العد مع «على الأقل» / «على الأكثر» (المتمم)

النوع 8: سحوبات مركبة حسب الفئات (مبدأ الضرب)

Le dénombrement — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

حساب وتبسيط العاملي

التراتيب – سحب مرتبة

التأليفات – السحب بدون ترتيب

علاقة باسكال ومثلث باسكال

Calculs d'arrangements et de combinaisons

حسابات مباشرة

Numéros de téléphone à 8 chiffres

القوائم مع التكرار

Tiercé dans l'ordre

سباق الخيول

Mots de 5 lettres distinctes

الأبجدية

Permutations : rangement et mélange

التباديل

Comités et sous-ensembles

التوافيق

Loto : 6 boules parmi 49

اليانصيب

عد الفواكه

اختيار الأطباق

تأليفات الملابس

أنواع الكتب

زيارات المدن

اختيار الفواكه

اختيار الكتب

فريق كرة القدم

توزيع الحلوى

اختيار الكتب

عد الكتب

اختيار الفواكه

تصنيف التلاميذ

فريق كرة القدم

اختيار الملابس

عد الفواكه

عد المسارات

فريق كرة القدم

Exercices Intermédiaires

مسائل الرموز وكلمات المرور

تباديل وترتيب الكلمات

اللجان والفرق – التوافيق التطبيقية

صيغة ثنائي الحد لنيوتن

ألعاب الورق واليانصيب

Poker : mains et nombre d'as

لعبة 32 بطاقة

Tirage simultané dans un sac de 9 boules

كيس من الكرات الملونة

Une relation entre arrangements

متطابقة الترتيبات

Équation avec coefficients binomiaux

حل معادلة

Inégalités issues du binôme de Newton

النوع 2: عد $p$ -قوائم (ترتيب + تكرار)

النوع 6: استخدام خصائص المعاملات $(p n)$

المتطابقة $(x - y)^{10}$

تطوير $(x + 2 y + 3 z)^{12}$