نعتبر النقط $A(2;0)$ و $B(0;2)$ و $C(2;2)$ و $O(0;0)$. نرمز بـ $I$ و $J$ لمنتصفي القطعتين $[AC]$ و $[OA]$ على التوالي.

1. احسب $\cos (\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BJ})$ و $\sin (\overrightarrow{BI},\overrightarrow{BJ})$، ثم استنتج مساحة المثلث $IBJ$.
2. ليكن $(D)$ المستقيم ذو المعادلة $(1-m)x+y-2=0$ حيث $m\ne 1$.
   a) عين، بدلالة $m$، المسافتين $d=d(A,(D))$ و $d^{\prime }=d(C,(D))$.
   b) عين قيمة $m$ التي من أجلها $d^{\prime }=2d$.

ليكن $(C)$ مجموعة النقط $M(x;y)$ بحيث $x^2+y^2+8x-4y+10=0$، وليكن المستقيم $(D):x-2y+13=0$.

1. a) بين أن $(C)$ دائرة وعين مركزها $K$ ونصف قطرها $r$.
   b) بين أن $(D)$ يقطع الدائرة $(C)$ في نقطتين $E$ و $F$.
   c) عين إحداثيي $E$ و $F$.
2. ليكن المستقيم $(D^{\prime }):3x-y+4=0$.
   a) بين أن $(D^{\prime })$ مماس للدائرة $(C)$ في نقطة $H$.
   b) عين إحداثيي $H$.

نعتبر النقط $A\left(1;\frac{5}{2}\right)$ و $B\left(1;-\frac{3}{2}\right)$ و $C\left(-1;\frac{1}{2}\right)$.

1. بين أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$.
2. a) بين أن $x^2+y^2-2x-y-\frac{11}{4}=0$ معادلة للدائرة $(C)$ المحيطة بالمثلث $ABC$.
   b) عين مركز $\Omega$ ونصف قطر $r$ للدائرة $(C)$.
3. نعتبر المستقيم $(D):x+2y=0$.
   a) احسب $d(\Omega ,(D))$ واستنتج الوضع النسبي للدائرة $(C)$ والمستقيم $(D)$.

نعتبر الدائرة $(C):x^2+y^2-6x-2y+6=0$ والنقطة $A(1;1)$.

1. تحقق من أن $A$ تنتمي إلى $(C)$.
2. حدد معادلة المماس للدائرة $(C)$ عند النقطة $A$.
3. حدد تمثيلا بارامتريا للدائرة $(C)$.
4. حدد نقاط تقاطع الدائرة $(C)$ مع محوري المعلم، إن وُجدت.

$A$ و $B$ نقطتان في المستوى و $I$ منتصف $[AB]$. لتكن $M$ نقطة أي كانت في المستوى.

1. بين أن $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{1}{2}A{B}^2$.
2. بين أن $M{A}^2-M{B}^2=2\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{AB}$.
3. بين أن $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{1}{4}A{B}^2$.

$A$ و $B$ نقطتان بحيث $AB=6$ cm، و $I$ هو منتصف $[AB]$. يمكن استعمال المتطابقات: $M{A}^2+M{B}^2=2M{I}^2+\frac{1}{2}A{B}^2$، $M{A}^2-M{B}^2=2\overrightarrow{IM}\cdot \overrightarrow{AB}$ و $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=M{I}^2-\frac{1}{4}A{B}^2$. حدد مجموعة نقط $M$ من المستوى بحيث:

1. $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=0$ ;
2. $\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{MB}=4$ ;
3. $M{A}^2+M{B}^2=68$ ;
4. $M{A}^2+M{B}^2=2$ ;
5. $M{A}^2-M{B}^2=0$.

نعتبر الدائرة $(C):x^2+y^2-2x-4y=0$ والمستقيم $(D):x+y+m=0$، حيث $m$ وسيط حقيقي. ناقش، حسب قيم $m$، الوضع النسبي للمستقيم $(D)$ بالنسبة للدائرة $(C)$.

لكل عدد حقيقي $m$، نعتبر مجموعة $(C_m)$ للنقط $M(x;y)$ بحيث: $x^2+y^2-2mx-2(m+1)y+2m^2+2m=0$.

1. بين أنه لكل $m\in \mathbb{R}$، $(C_m)$ دائرة نحدد مركزها ${\Omega }_m$ ونصف قطرها $R$.
2. عين المجموعة التي يصفها ${\Omega }_m$ عندما يأخذ $m$ جميع قيم $\mathbb{R}$.
3. ما هي الدوائر $(C_m)$ المماسة لمحور الفواصل؟
4. عين جميع المستقيمات الموازية للمستقيم ذي المعادلة $y=x$ والمماسة لجميع الدوائر $(C_m)$.

نعتبر النقط $A(1;-1)$ و $B(3;1)$ و $C(3;3)$.

1. حدد معادلة المستقيم $(\Delta )$، ارتفاع المثلث $ABC$ الصادر من $A$.

2. حدد معادلتي المحورين المتعامدين $(L)$ و $(L^{\prime })$ للقطعتين $[AB]$ و $[AC]$.

3. استنتج إحداثيات $K$، مركز الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$.

نعتبر النقطتين $A(2;0)$ و $C(2;2)$، والمستقيم $(D)$ ذو المعادلة $(1-m)x+y-2=0$ حيث $m\ne 1$.

1. حدد، بدلالة $m$، المسافتين $d=d(A;(D))$ و $d^{\prime }=d(C;(D))$.

2. حدد القيمة (أو القيم) لـ $m$ بحيث $d^{\prime }=2d$.

نعتبر الدائرة $(C):x^2+y^2+8x-4y+10=0$ والمستقيم $(D):x-2y+13=0$.

1. بين أن $(C)$ دائرة وعين مركزها $K$ ونصف قطرها $r$.

2. بين أن $(D)$ يقطع $(C)$ في نقطتين $E$ و $F$، ثم عين إحداثياتهما.

3. ليكن $(D^{\prime }):3x-y+4=0$. بين أن $(D^{\prime })$ مماس للدائرة $(C)$ وعين نقطة التماس $H$.

لتكن $A\left(1;\frac{5}{2}\right)$ و $B\left(1;-\frac{3}{2}\right)$ و $C\left(-1;\frac{1}{2}\right)$ ثلاث نقط.

1. بين أن المثلث $ABC$ قائم الزاوية في $C$.

2. بين أن $x^2+y^2-2x-y-\frac{11}{4}=0$ معادلة للدائرة $(C)$ المحيطة بالمثلث $ABC$، ثم عين مركزها $\Omega$ ونصف قطرها $r$.

3. ليكن المستقيم $(D):x+2y=0$. احسب $d(\Omega ;(D))$ واستنتج الوضع النسبي لـ $(C)$ و $(D)$.

لتكن $A(2;6)$، $B(8;2)$، $C(-3;-9)$، $D(7;1)$ و $H(5;3)$، والدائرة $(C):x^2+y^2-2x+4y-60=0$.

1. احسب $\cos (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$ و $\sin (\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC})$.

2. بين أن $(C)$ هي الدائرة المحيطة بالمثلث $ABC$، مع تحديد مركزها ونصف قطرها.

3. حدد معادلة الارتفاع $(\Delta )$ الصادر من $A$، ثم بين أن الارتفاع الصادر من $B$ يمر بـ $H$.

4. استنتج أن $H$ هو مركز ارتفاعات المثلث $ABC$.

ليكن $a$ و $b$ عددان حقيقيان موجبان تماماً، والمتجهان $\vec{u}\left(\sqrt{a};\sqrt{b}\right)$ و $\vec{v}\left(\frac{1}{\sqrt{a}};\frac{1}{\sqrt{b}}\right)$.

1. بتطبيق متراجحة كوشي-شفارتز على $\vec{u}$ و $\vec{v}$، بيّن أن $(a+b)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge 4$.

2. باستخدام متراجحة المثلث، بيّن أن $\sqrt{(a+\sqrt{a}{)}^2+(b+\sqrt{b}{)}^2}\le \sqrt{a+b}+\sqrt{a^2+b^2}$.

لتكن u $\to$ = (2, 3) و v $\to$ = (1, 4) و w $\to$ = (0, 2). بين أن u $\to$ $\cdot$ (v $\to$ + w $\to$) = u $\to$ $\cdot$ v $\to$ + u $\to$ $\cdot$ w $\to$.

ليكن النقطة $P(3,2)$ والمستقيم المعرف بالمتجهة الموجهة u = $(1,1)$. أوجد المسافة بين النقطة $P$ وهذا المستقيم.

بين أن المتجهتين u = (a, b) و v = (-b, a) متعامدتان.

ليكن المتجه x = $(x_1,x_2)$ بحيث x $\cdot$ u = $10$ و x $\cdot$ v = $20$، حيث u = $(1,2)$ و v = $(3,-1)$. أوجد قيمتي $x_1$ و $x_2$.

بين أن u و v متجهتان متعامدتان إذا وفقط إذا كان u $\cdot$ v = 0.

حل النظمة التالية: $u\cdot v=5$ و $\Vert u\Vert =3$، حيث $u$ = $(x,y)$ و $v$ = $(1,2)$.

ليكن u = $(3,4)$ و v = $(5,1)$. أوجد الإسقاط المتعامد للمتجهة v على المتجهة u وحدد المسافة بين v وهذا الإسقاط.

في فضاء متجهي، ليكن u$\to$ = (2, 2, 1) و v$\to$ = (1, 0, 3). أحسب الجداء السلمي وبين أن المتجهتين غير متعامدتين.