لتكن الدالة $f(x)=x\cdot e^{-x}$ المعرفة على $\mathbb{R}$.

1. احسب نهايتي الدالة $f$ عند $-\infty$ وعند $+\infty$.
2. احسب $f^{\prime }(x)$، ادرس إشارتها ثم ضع جدول تغيرات الدالة.
3. بين أن المعادلة $f(x)=k$ تقبل حلين إذا وفقط إذا كان $0<k<\frac{1}{e}$.
4. بين أنه لكل $x\ge 0$ : $x\cdot e^{-x}\le \frac{1}{e}$.

لتكن الدالة $f(x)=(x+1)\cdot e^{-x}$ المعرفة على $\mathbb{R}$.

1. احسب نهايتي الدالة $f$ عند $-\infty$ وعند $+\infty$. حدد المقاربات.
2. احسب $f^{\prime }(x)$، ادرس إشارتها ثم ضع جدول التغيرات.
3. حدد إحداثيات القيمة القصوى للدالة $f$.
4. احسب التكامل $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f(x)dx$ باستعمال تقنية المكاملة بالأجزاء.
5. بين أن لكل $x\ge 0$ : $(x+1)e^{-x}\le 1$.

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=(x^2-1)e^x$.

1. احسب $f^{\prime }(x)$ و $f^{\prime \prime }(x)$. ثم عمل.
2. ضع جدول تغيرات الدالة $f$.
3. حدد نقط انعطاف المنحنى $C_f$.
4. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to -\infty }{\lim }f(x)$. فسر النتائج مبيانيا.
5. احسب $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f(x)dx$.

تحتوي مستعمرة بكتيرية في البداية على $N_0=1000$ بكتيريا. نمذِج عدد البكتيريا عند اللحظة t (بالساعات) بواسطة: $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$

حيث k عدد حقيقي موجب. نلاحظ أنه بعد 3 ساعات، يصبح عدد البكتيريا في المستعمرة 8 000 بكتيريا.

1. بين أن $k=\ln (2)$ وأعطِ صيغة الدالة $N(t)$ بشكل صريح.
2. بعد كم من الوقت يتضاعف عدد السكان؟ (زمن التضاعف)
3. احسب $N(5)$ (قرب إلى الوحدة).
4. بعد كم من الوقت سيتجاوز عدد البكتيريا في المستعمرة $10^6$ بكتيريا؟

لتكن الدالة f المعرفة بما يلي: $f(x)=\frac{e^x}{1+e^x}$

1. حدد مجموعة تعريف الدالة $D_f$.
2. احسب نهايتي الدالة f عند $+\infty$ وعند $-\infty$.
3. احسب $f^{\prime }(x)$ وادرس إشارتها. استنتج رتابة الدالة f.
4. ضع جدول التغيرات الكامل للدالة f.
5. بين أن $f(x)+f(-x)=1$ لكل $x\in \mathbb{R}$.

تتبع مستعمرة بكتيرية عددها الأولي $N_0=500$ بكتيريا النموذج $N(t)=N_0\cdot e^{kt}$ حيث t بالساعات و $k>0$.

1. نعلم أنه بعد ساعتين، يصبح عدد البكتيريا في المستعمرة 2000. حدد k.
2. احسب زمن التضاعف T (المدة اللازمة لتضاعف عدد البكتيريا).
3. احسب $N(6)$ — عدد البكتيريا بعد 6 ساعات.
4. بعد كم من الوقت سيتجاوز عدد البكتيريا 10000؟

حساب نهايات مع الدالة الأسية

احسب النهايات التالية:

1. $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-3x+2)e^x$
2. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-e^{3x}}{x}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x-x}{e^x-1}$

دالة موجبة

لتكن $g$ الدالة المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $g(x)=(1-x)e^{2-x}+1$.

1. ادرس تغيرات $g$ على $\mathbb{R}$.
2. استنتج أنه من أجل كل عدد حقيقي $x$، $g(x)\ge 0$.

احسب النهايات التالية

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(e^x-x-1\right)$

2. $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2-3x+2\right)e^x$

3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^x-1}{e^x+1}$

احسب هاتين النهايتين

1. $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^{2x}-e^{3x}}{x}$

2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$

لتكن $g$ الدالة المعرفة على $I=[0;+\infty [$ بـ $g(x)=1-e^{-\frac{1}{2}x}-\frac{1}{2}x$.

1. بين أن $g$ تناقصية قطعا على $[0;+\infty [$.

2. استنتج إشارة $g(x)$ من أجل $x>0$، ثم المتراجحة $1-e^{-\frac{1}{2}x}<\frac{1}{2}x$ على $]0;+\infty [$.

حل المتراجحة التالية: $e^x>3$.

تلاحظ شركة في مراكش أن مبيعاتها تنمو بنسبة 15% سنويًا. إذا كانت المبيعات مليون درهم في العام الماضي، فاحسب المبيعات المتوقعة في غضون 5 سنوات.

حل المعادلة $e^x=5$.

في مدينة ما، ينتشر مرض وفق النموذج $N(t)=N_0\times e^{kt}$، حيث $N_0=100$ و $k=0.1$ و $t$ هو الزمن بالأيام. ما هو عدد الأشخاص المصابين بعد 10 أيام؟

برهان على أنه لكل $a>0$, $e^x=a\iff x=\ln (a)$.

يبلغ عدد سكان مدينة 50 000 نسمة، ويتزايد هذا العدد بشكل أسي بمعدل 4% سنوياً. ما هو عدد سكانها بعد 10 سنوات؟

حل المعادلة التالية: exp(x) = 2 * exp(-x).

قارن بين النهايتين $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{e^x}{x^2}\right)$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x}{e^x}\right)$.

بين أن إذا كان $a>0$, فإن $\ln (a^x)=x\ln (a)$ لكل $x\in \mathbb{R}$.

في بلد ما، يتبع عدد السكان دالة أسية. إذا علمنا أن عدد السكان هو 1 000 000 نسمة اليوم وأنه يصل إلى 1 500 000 نسمة في 10 سنوات، فما هي الدالة الأسية التي تمثل هذا النمو؟

التمرين 4 — وضعية-مسألة: نمذجة عدد السكان

يقوم مخطط عمراني في الدار البيضاء بنمذجة تطور عدد سكان حي جديد. يفترض أنه بعد $t$ سنة من افتتاح الحي ($t\ge 0$)، يُعطى عدد السكان (بالآلاف) بالعلاقة:

$N(t)=A-(A-N_0)e^{-kt}$

حيث $A$ و $N_0$ و $k$ ثوابت موجبة قطعاً مع $N_0<A$.

1. فسّر $N_0$ واحسب $\underset{t\to +\infty }{\lim }N(t)$. فسّر هذه النتيجة.
2. بيّن أن $N$ دالة متزايدة على $[0;+\infty [$. هل هذا متسق مع السياق؟
3. نفترض أن $N_0=2$ و $A=50$ و $k=0,1$. احسب $N^{\prime }(t)$ وحدد بعد كم سنة (قيمة صحيحة) يتجاوز عدد السكان $30000$ نسمة. نقبل أن $\ln (24)\approx 3,18$.
4. نعرّف الدالة $h$ على $]0;+\infty [$ بـ $h(t)=\frac{N(t)}{t}$. يؤكد أحد المنتخبين أن المعدل المتوسط للسكان في السنة يؤول إلى $0$ عندما $t\to +\infty$. تحقق من هذا التأكيد.

التمرين 3 — دراسة شاملة لدالة

نعتبر الدالة g المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي: $g(x)=x+1-2e^{-x}$.

1. احسب نهايتي g عند $-\infty$ وعند $+\infty$. فسر هندسيا النهاية عند $+\infty$.
2. بين أن المستقيم $\Delta$ الذي معادلته $y=x+1$ مقارب لمنحنى g عند $+\infty$. حدد الوضع النسبي للمنحنى بالنسبة للمستقيم $\Delta$.
3. احسب $g^{\prime }(x)$ وادرس تغيرات الدالة g.
4. بين أن المعادلة $g(x)=0$ تقبل حلا وحيدا $\alpha$ في $\mathbb{R}$، وتحقق أن $\alpha \in ]0;1[$.
5. استنتج إشارة $g(x)$ على $\mathbb{R}$.

نعتبر الدالة g المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي:

$g(x)=(x^2+x+1)\cdot e^{-x}$

الجزء A — دراسة الدالة g

1. احسب نهايتي g عند $-\infty$ وعند $+\infty$. فسر مبيانيا النتيجة عند $+\infty$.
2. بين أن $g^{\prime }(x)=-(x^2-x)\cdot e^{-x}=-x(x-1)\cdot e^{-x}$. استنتج جدول التغيرات الكامل للدالة g.
3. بين أن المنحنى الممثل للدالة g يقبل نقطة انعطاف يجب تحديد إحداثياتها.

الجزء B — المعادلة التفاضلية

نعتبر المعادلة التفاضلية (E) : $y^{\prime }+y=(2x+1)\cdot e^{-x}$، حيث y دالة قابلة للاشتقاق على $\mathbb{R}$.

4. تحقق أن الدالة h المعرفة بـ $h(x)=x^2\cdot e^{-x}$ هي حل خاص للمعادلة (E).
5. حل المعادلة المتجانسة المرتبطة بها (E${}_0$) : $y^{\prime }+y=0$.
6. استنتج مجموعة حلول المعادلة (E)، ثم حدد الحل $\phi$ للمعادلة (E) الذي يحقق $\phi (0)=1$.

التمرين 4 — المتتالية والدالة الأسية

نعتبر المتتالية ($u_n$) المعرفة بـ $u_0=0$ و، لكل عدد صحيح طبيعي $n\in \mathbb{N}$:

$u_{n+1}=u_n+e^{-u_n}$.

نعرف أيضاً الدالة f على $\mathbb{R}$ بـ $f(x)=x+e^{-x}$.

1. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_n\ge 0$. يمكن الاستعانة بالبرهان بالترجع.
2. بين أن المتتالية ($u_n$) متزايدة تزايداً قطعياً.
3. احسب $f^{\prime }(x)$ وبين أن $f(x)>x$ لكل $x\in \mathbb{R}$. استنتج أن المتتالية ($u_n$) غير محدودة من الأعلى.
4. احسب الحدود الخمسة الأولى للمتتالية (القيم الدقيقة)، وتحقق عددياً من التزايد.
5. بين أنه لكل $n\in \mathbb{N}$: $u_{n+1}-u_n=e^{-u_n}$، وأن هذه الكمية تؤول إلى $0$. ماذا يمكن أن نستنتج حول سلوك المتتالية؟

التمرين 3 — دراسة كاملة لدالة

نعتبر الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ: $f(x)=(x^2+x+1)e^x$.

1. احسب نهايات $f$ عند $-\infty$ وعند $+\infty$. استنتج وجود مقارب محتمل.

2. احسب $f^{\prime }(x)$. بين أن $f^{\prime }(x)=(x^2+3x+2)e^x$، ثم حلل $f^{\prime }(x)$.

3. أنشئ جدول تغيرات $f$ الكامل على $\mathbb{R}$.
4. بين أن المعادلة $f(x)=0$ لا تقبل أي حل حقيقي.
5. نرمز بـ $g$ لتقييد $f$ على المجال $[-2;0]$. بين أن $g$ تقابل تام من $[-2;0]$ نحو مجال $J$ يجب تحديده.

التمرين 4 — متتالية ودالة أسية

لتكن المتتالية $(u_n)$ معرفة بـ $u_0=0$ و، لكل عدد صحيح طبيعي $n\ge 0$: $u_{n+1}=e^{u_n}-1$.

نعتبر الدالة g المعرفة على $\mathbb{R}$ بـ $g(x)=e^x-x-1$.

1. بين أن $g(x)\ge 0$ لكل $x\in \mathbb{R}$، مع المساواة إذا وفقط إذا كان $x=0$.
2. استنتج أنه لكل عدد صحيح طبيعي $n\ge 0$: $u_{n+1}\ge u_n$. (المتتالية متزايدة.)
3. بين بالترجع أن $u_n\ge 0$ لكل عدد صحيح طبيعي $n\in \mathbb{N}$.
4. نسلم بأن المتتالية $(u_n)$ تتقارب نحو نهاية $\ell \in \mathbb{R}$. عين $\ell$.
5. احسب الحدود الخمسة الأولى $u_0$، $u_1$، $u_2$، $u_3$، $u_4$ (قيم دقيقة أو تقريب إلى $10^{-3}$)، وتحقق من الانسجام مع النتائج السابقة.

التمرين 3 — دراسة شاملة لدالة أسية

نعتبر الدالة f المعرفة على $\mathbb{R}$ بما يلي: $f(x)=(x^2+x-1)e^x$.

1. احسب نهايتي f عند $-\infty$ وعند $+\infty$. استنتج المقاربات المحتملة.

2. احسب $f^{\prime }(x)$ وبين أنه يمكن كتابتها على الشكل $f^{\prime }(x)=(x^2+3x)e^x$. ادرس إشارة $f^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول التغيرات الكامل للدالة f.

3. بين أن المعادلة $f(x)=0$ تقبل حلين حقيقيين بالضبط $x_1$ و $x_2$ حيث $x_1<x_2$. أعط القيم المضبوطة لـ $x_1$ و $x_2$.
4. نرمز بـ $C_f$ إلى المنحنى الممثل للدالة f. حدد معادلة المماس للمنحنى $C_f$ في النقطة التي أفصولها $x=0$.