معادلات مع اللوغاريتم النيبيري

حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية:

1. $(E_1):{\ln }^2(x)+\ln (x)-2=0$
2. $(E_2):\ln (x-3)+\ln (9-x)=0$

متراجحات مع اللوغاريتم النيبيري

حل في $\mathbb{R}$ المتراجحات التالية:

1. $(I_1):\ln (x)-1\ge 0$
2. $(I_2):{\ln }^2(x)-3\ln (x)+2<0$

نهايات تتضمن $\ln$

احسب النهايات التالية:

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\ln (x))$
2. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x-1}$
3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln (x^2+1)-x)$

معادلات مع تغيير المتغير

حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية:

1. $(E_5):{\ln }^2(x)+\ln (x)-2=0$

2. $(E_6):\ln (x-3)+\ln (9-x)=0$

أنظمة مع تغيير المتغير

حل في ${\mathbb{R}}^2$ الأنظمة التالية:

1. $(S_1):\{\begin{array}{l}3\ln x+7\ln y=4\\ 2\ln x+5\ln y=3\end{array}$

2. $(S_2):\{\begin{array}{l}\ln x\cdot \ln y=-10\\ \ln x+\ln y=3\end{array}$

نهايات تتضمن $\ln$

احسب النهايات التالية:

1. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(x-\ln x)$

2. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{{\ln }^2(x)}{x}$

3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln x}{x-1}$

4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln (x^2+1)-x)$

5. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x(\ln x{)}^3$

الدوال الأصلية

حدد دالة أصلية لكل من الدوال التالية على المجال $I$ المشار إليه:

1. $f(x)=\frac{x^5}{1+x^6}$ على $I=\mathbb{R}$ ؛

2. $f(x)=\frac{1}{x\ln (x)}$ على $I=]0;1[$ ؛

3. $f(x)=\frac{5x+1}{x^2+x-2}$ على $I=]1;+\infty [$.

تغيرات $f(x)=\frac{-\ln x}{\sqrt{x}}$

لتكن $f$ الدالة المعرفة على $]0;+\infty [$ بـ $f(x)=\frac{-\ln x}{\sqrt{x}}$.

1. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)$ و $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)$.

2. ادرس اتجاه تغير $f$ على $]0;+\infty [$.

التمرين

حل في $\mathbb{R}$ المعادلات التالية:

1. $(E_3):\ln (x^2+x+1)=0$

2. $(E_4):(x+2)\ln (x-3)=0$

3. $(E_5):{\ln }^2(x)+\ln (x)-2=0$

4. $(E_6):\ln (x-3)+\ln (9-x)=0$

نص التمرين

حل في ${\mathbb{R}}^2$ الجملتين التاليتين:

$(S_1):\{\begin{array}{l}3\ln x+7\ln y=4\\ 2\ln x+5\ln y=3\end{array}(S_2):\{\begin{array}{l}\ln x\cdot \ln y=-10\\ \ln x+\ln y=3\end{array}$

نص التمرين

احسب النهايات التالية:

1. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(\frac{1}{x^2}+\ln x\right)$

2. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x\ln \left(\sqrt[3]{x}\right)}$

3. $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\ln (x^2+1)-x)$

4. $\underset{x\to +\infty }{\lim }x\ln \left(1+\frac{1}{x}\right)$

5. $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x(\ln x{)}^3$

نص التمرين

حدد الدوال الأصلية للدوال التالية على المجال المحدد:

1. $f(x)=\frac{x^5}{1+x^6}$ على $I=\mathbb{R}$.

2. $f(x)=\frac{1}{x\ln (x)}$ على $I=]0;1[$.

3. $f(x)=\frac{x^3+x+4}{x+1}$ على $I={\mathbb{R}}^{+}$.

4. $f(x)=\frac{5x+1}{x^2+x-2}$ على $I=]1;+\infty [$.

احسب المشتقة للدالة $f(x)=\ln (x^2+1)$.

حل المعادلة $\ln (x)=2$.

حل المتراجحة ln(x) > 0.

احسب النهاية $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\ln (x)$.

احسب النهاية $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}$.

احسب المشتقة للدالة $f(x)=\ln (x^2)$.

حدد النهاية $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\ln (x)}{x}$.

حل المعادلة ln(x) - ln(3) = 1.

ثمن منتوج هو 100 درهم. يرتفع ثمنه بنسبة 20% سنويا. ما هي قيمة المنتوج بعد 5 سنوات؟

ثمن منتوج هو 100 درهم. يتضاعف ثمنه بـ $e$ كل سنة. ما هو ثمنه بعد 3 سنوات؟

احسب النهاية : $\underset{x\to +\infty }{\lim }$ ln(x)/x.

احسب المشتقة للدالة $f(x)=\ln (3x^2+1)$.

حل المعادلة ln(2x + 1) = ln(5).

حل المعادلة ln(x) - ln(4) = 0.

التمرين 3 — دراسة كاملة لدالة

نعتبر الدالة g المعرفة على $]0,+\infty [$ بـ:

$g(x)=x\cdot \ln (x)-x+1$

1. احسب نهايات g عند $0^{+}$ وعند $+\infty$.
2. احسب $g^{\prime }(x)$ لكل $x\in ]0,+\infty [$. ادرس إشارتها وأنشئ جدول تغيرات g.
3. بيّن أنه لكل $x\in ]0,+\infty [$، $g(x)\ge 0$، مع تحقق المساواة إذا وفقط إذا كان $x=1$.
4. استنتج أنه لكل $x>0$: $\ln (x)\ge 1-\frac{1}{x}$. تحقق من المتراجحة عند $x=e$.
5. باستعمال السؤال 3، برهن أنه لكل عددين حقيقيين $a>0$ و $b>0$: $\ln \left(\frac{a}{b}\right)\ge 1-\frac{b}{a}$.

التمرين 3 — دراسة شاملة لدالة

نعتبر الدالة g المعرفة على المجال ]0 ; +$\infty$[ بما يلي :

$g(x)=(\ln (x){)}^2-2\ln (x)$

1. حدد نهايتي g عند $0^{+}$ وعند +$\infty$.
2. احسب $g^{\prime }(x)$ وادرس إشارتها. ضع جدول تغيرات الدالة g.
3. حدد نقط تقاطع المنحنى الممثل للدالة g مع محور الأفاصيل.
4. بين أن المماس لمنحنى g في النقطة ذات الأفصول $x=1$ أفقي. اكتب معادلة هذا المماس.
5. ادرس تقعر الدالة g (سنحسب $g^{\prime \prime }(x)$) وحدد نقط الانعطاف المحتملة.

التمرين 4 — متتالية معرفة بعلاقة تراجعية واللوغاريتم

نُعرف المتتالية $(u_n)$ بما يلي: $u_0=2$ ولكل $n\in \mathbb{N}$، $u_{n+1}=\ln (u_n+e-1)$.

نرمز بـ $f$ للدالة المعرفة على $]1-e,+\infty [$ بـ $f(x)=\ln (x+e-1)$.

1. بين أن $f$ تقبل نقطة ثابتة وحيدة $\ell$، ثم حدد قيمتها.
2. بين بالترجع أنه لكل $n\in \mathbb{N}$، $u_n\ge 1$.
3. بين أن المتتالية $(u_n)$ تناقصية. إرشاد: ادرس إشارة $u_{n+1}-u_n$.
4. استنتج أن المتتالية $(u_n)$ متقاربة، ثم حدد نهايتها.
5. نضع $v_n=u_n-1$. بين أن $v_{n+1}\le v_n/2$ لكل $n\in \mathbb{N}$ (يمكن استعمال المتراجحة $\ln (1+t)\le t$ الصالحة لـ $t>-1$). استنتج تأطيرا لـ $u_n-1$.

التمرين 4 — المتتالية واللوغاريتم

نعتبر المتتالية $(u_n)$ المعرفة بـ $u_0=3$ و، من أجل كل عدد صحيح طبيعي $n\in \mathbb{N}$ :

$u_{n+1}=\frac{1}{2}\left(u_n+\frac{1}{u_n}\right)$

نضع $v_n=\ln (u_n)$ من أجل كل $n\in \mathbb{N}$.

1. بين أن $u_n>0$ من أجل كل $n\in \mathbb{N}$ (يمكن الاستدلال بالترجع).
2. بين أن $u_n\ge 1$ من أجل كل $n\ge 1$ باستعمال متراجحة المتوسطين الحسابي والهندسي: من أجل كل عددين حقيقيين $a,b>0$، $\frac{a+b}{2}\ge \sqrt{ab}$.
3. عبر عن $v_{n+1}$ بدلالة $v_n$ وبين أن المتتالية $(v_n)$ متناقصة من أجل $n\ge 1$.
4. بين أن $(v_n)$ محدودة من الأسفل بـ $0$ من أجل $n\ge 1$. استنتج أن $(v_n)$ متقاربة. ما هي نهاية $(u_n)$ ؟

التمرين 2 — دراسة شاملة لدالة

نُعرف الدالة g على $]0,+\infty [$ بما يلي:

$g(x)=\frac{2\ln (x)-1}{x}$

نرمز بـ (C) إلى منحناها الممثل في معلم متعامد ممنظم.

1. النهايات والمقاربات.

   1. احسب $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }g(x)$. حدد سلوك (C) عند 0.
   2. احسب $\underset{x\to +\infty }{\lim }g(x)$. هل المستقيم ذو المعادلة $y=0$ مقارب للمنحنى (C) عند $+\infty$؟ حدد إشارة $g(x)$ من أجل قيم كبيرة كفاية لـ $x$.

2. المشتقة والتغيرات.

   1. بين أن لكل $x\in ]0,+\infty [$: $g^{\prime }(x)=\frac{3-2\ln (x)}{x^2}$.
   2. ادرس إشارة $g^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول التغيرات الكامل للدالة g. عبر عن القيمة القصوى للدالة g على شكل مضبوط.

3. المعادلة والمتراجحة.

   1. حل في $]0,+\infty [$ المعادلة $g(x)=0$.
   2. باستخدام جدول التغيرات، حل في $]0,+\infty [$ المتراجحة $g(x)\ge 0$.

4. المماس.
   حدد معادلة المماس للمنحنى (C) في النقطة ذات الأفصول $x=1$.

التمرين 3 — دراسة شاملة لدالة

نُعرف الدالة g على $]0;+\infty [$ بما يلي:

$g(x)=x\cdot \ln (x)-x+1$

1. احسب نهايتي g عند $0^{+}$ وعند $+\infty$. (نذكر أن $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }x\cdot \ln (x)=0$.)

2. احسب $g^{\prime }(x)$. ادرس إشارة $g^{\prime }(x)$ ثم ضع جدول التغيرات الكامل للدالة g.

3. بين أن $g(x)\ge 0$ لكل $x>0$ واستنتج المتراجحة التالية:

   $\forall x>0,\ln (x)\ge 1-\frac{1}{x}$

4. نضع $h(x)=\frac{\ln (x)}{x-1}$ لكل $x>0$ و $x\ne 1$.

   1. احسب $\underset{x\to 1}{\lim }h(x)$. (سنستعمل نتيجة السؤال 3.)
   2. بين أن h تناقصية قطعا على $]0;1[$ وعلى $]1;+\infty [$.

التمرين 4 — وضعية-مسألة: النمو الديمغرافي

يمثل عدد سكان مدينة بجهة مراكش-آسفي، بالآلاف، بواسطة الدالة:

P(t) = 120 + 80$\cdot$ln(t + 1)

حيث t يمثل عدد السنوات المنصرمة منذ سنة 2000 (t $\ge$ 0).

1. ما هو عدد سكان هذه المدينة سنة 2000؟ وفي سنة 2010؟

2. احسب P'(t). فسر النتيجة من حيث النمو الديمغرافي.

3. في أي تاريخ سيتجاوز عدد السكان 400 000 نسمة؟ (أعطِ الإجابة بالسنوات الكاملة. نذكر أن ln(2) ≈ 0,693 و ln(3) ≈ 1,099.)

4. نرمز بـ Q(t) إلى معدل النمو السنوي المتوسط المعرف بما يلي:

   Q(t) = [P(t + 1) − P(t)] / P(t) $\times$ 100 (بالـ %)

   1. عبر عن Q(t) بدلالة t.
   2. بين أن Q دالة تناقصية لـ t من أجل t $\ge$ 0.
   3. فسر هذه النتيجة في سياق المسألة.

نضع $h(x)=x-1-\ln (x)$ من أجل $x>0$.

1. احسب $h^{\prime }(x)$ وادرس إشارته.
2. أنشئ جدول تغيرات $h$ واستنتج أن $\ln (x)\le x-1$ من أجل كل $x>0$.
3. طبق المتراجحة مع $x=\frac{1}{2}$ لمقارنة $\ln (2)$ و $\frac{1}{2}$.
4. طبق المتراجحة مع $x=2$ لمقارنة $\ln (2)$ و $\frac{1}{2}$ بطريقة أخرى.