ليكن $z_1=3+2i$ و $z_2=1-4i$.

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1-z_2$ و $z_1\cdot z_2$.
2. احسب $|z_1|$ و $|z_2|$ و $z$${}_1$.
3. احسب $z_1/z_2$ (اكتبه على الشكل الجبري).
4. حل المعادلة $z^2=-9$.

1. اكتب على الشكل الجبري $a+bi$ :

1. $(2+3i)(1-i)$
2. $(1+i)/(2-i)$
3. $(1+i{)}^2$ - $(1-i{)}^2$
4. $i^3$ + $i^4$ + $i^5$

2. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة : $z^2$ + $2z$ + $5=0$.

3. أوجد الجذور المربعة للعدد العقدي $z=3+4i$.

1. اكتب على الشكل الأسي $r\cdot e^{i\theta }$ الأعداد العقدية التالية:

1. $z_1=-1+i$
2. $z_2=-\sqrt{3}-i$
3. $z_3=-4$ (عدد حقيقي سالب)

2. احسب $|z_1\cdot z_2|$ و $\arg (z_1/z_2)$.

3. باستخدام $z_1=\sqrt{2}\cdot e^{i3\pi /4}$، احسب $z_1^8$.

لكل عدد من الأعداد العقدية التالية، حدد المعيار وعمدة، ثم اكتب الشكل المثلثي والشكل الأسي:

1. $z_1=1+i\sqrt{3}$
2. $z_2=-2i$
3. $z_3=-1-i$
4. $z_4=-\sqrt{3}+i$

نبحث عن الجذور المربعة للعدد العقدي $z=3-4i$.

1. نضع $w=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) ونكتب $w^2=z$. أنشر ثم طابق الجزأين الحقيقي والتخيلي.
2. باستخدام $|w^2|=|z|$، أوجد $a^2+b^2$.
3. حل النظمة المحصل عليها وأعطِ الجذرين المربعين للعدد $z$.
4. تحقق بالحساب المباشر أن $w^2=3-4i$.

نضع $z=3+2i$ و $z^{\prime }=1-i$.

1. احسب $z+z^{\prime }$ و $z-z^{\prime }$ و $z\cdot z^{\prime }$.
2. احسب $1/z$ (اكتب على الشكل الجبري $a+bi$).
3. احسب $z/z^{\prime }$ (اكتب على الشكل الجبري).
4. احسب $|z|$ و $|z^{\prime }|$، وتحقق أن $|z\cdot z^{\prime }|=|z|\cdot |z^{\prime }|$.

اكتب كل عدد من الأعداد العقدية التالية على الشكل المثلثي $r(\cos \theta +i\cdot \sin \theta )$ :

1. $z_1=-1+i\sqrt{3}$
2. $z_2=\frac{1+i}{1-i}$
3. $z_3=-\sqrt{2}-i\sqrt{2}$

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعيار

نعتبر الأعداد العقدية التالية:

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1-z_2$ و $z_1\times z_2$. أعطِ النتائج على شكلها الجبري.
2. احسب مرافق ${\bar{z}}_1$ للعدد $z_1$، ثم تحقق أن $z_1\times {\bar{z}}_1=|z_1{|}^2$.
3. احسب $z_1÷z_2$ على الشكل الجبري $a+bi$ حيث $a,b\in \mathbb{R}$.
4. حدد $|z_1|$ و $|z_2|$ و $|z_1÷z_2|$. تحقق أن $|z_1÷z_2|=|z_1|÷|z_2|$.

التمرين 2 — المعيار والشكل الأسي

نعتبر العدد العقدي $z=-1+\sqrt{3}i$.

1. احسب $|z|$.
2. حدد عمدة $\theta$ للعدد $z$، بحيث $\theta \in ]-\pi ;\pi ]$. استنتج الشكل المثلثي للعدد $z$.
3. اكتب $z$ على الشكل الأسي.
4. باستخدام الشكل الأسي، احسب $z^3$ و $z^6$. أعطِ النتائج على الشكل الجبري.
5. بين أن $z$ جذر تكعيبي للعدد $-8$، أي أن $z^3=-8$.

التمرين 2 — الشكل المثلثي

نعتبر العددين العقديين $z_A=1+i\sqrt{3}$ و $z_B=\sqrt{3}-i$.

1. أحسب معيار وعمدة $z_A$، ثم اكتب $z_A$ على الشكل المثلثي وعلى الشكل الأسي.
2. أحسب معيار وعمدة $z_B$، ثم اكتب $z_B$ على الشكل المثلثي وعلى الشكل الأسي.
3. استنتج الشكل المثلثي والشكل الأسي لكل من $z_A\times z_B$ و $z_A÷z_B$، دون إجراء عمليات الضرب مباشرة.
4. تحقق من نتيجة $z_A\times z_B$ بإجراء الجداء جبريا.

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعيار

نعتبر العددين العقديين $z_1=3+2i$ و $z_2=1-i$.

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1-z_2$ و $z_1\times z_2$. أعطِ النتائج على شكلها الجبري.
2. احسب الخارج $z_1÷z_2$ على شكله الجبري. (اجعل المقام عددا حقيقيا باستعمال مرافق $z_2$.)
3. احسب $|z_1|$ و $|z_2|$ و $|z_1\times z_2|$. تحقق أن $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
4. بين أن $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعيار

نعتبر العددين العقديين $z_1=3+4i$ و $z_2=1-2i$.

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1-z_2$ و $z_1\times z_2$. أعطِ النتائج على شكلها الجبري.
2. احسب مرافق $\overline{z_1}$ للعدد $z_1$، ثم تحقق أن $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. احسب $z_1÷z_2$ على الشكل الجبري $a+bi$ حيث $a,b\in \mathbb{R}$.
4. حدد $|z_1|$ و $|z_2|$ و $|z_1÷z_2|$، ثم تحقق من العلاقة $|z_1÷z_2|=|z_1|÷|z_2|$.

التمرين 2 — الشكل المثلثي والشكل الأسي

نعتبر العددين العقديين التاليين:

• $z_A=1+i\sqrt{3}$
• $z_B=\sqrt{3}-i$

1. حدد معيار وعمدة للعدد $z_A$، ثم اكتب $z_A$ على الشكل المثلثي وعلى الشكل الأسي.
2. نفس السؤال بالنسبة للعدد $z_B$.
3. استنتج الشكل المثلثي والشكل الأسي للعدد $z_A\times z_B$، ثم احسب $z_A\times z_B$ على الشكل الجبري للتحقق من النتيجة.
4. احسب بنفس الطريقة $z_A÷z_B$ على الشكل الأسي، ثم على الشكل الجبري.

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعيار

نعتبر العددين العقديين $z_1=3+4i$ و $z_2=1-2i$.

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1-z_2$ و $z_1\times z_2$. أعطِ النتائج على شكلها الجبري.
2. احسب مرافق $\overline{z_1}$ للعدد $z_1$، ثم تحقق أن $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. احسب الخارج $z_1÷z_2$ على الشكل الجبري $a+bi$ حيث $a,b\in \mathbb{R}$.
4. حدد $|z_1|$ و $|z_2|$ و $|z_1÷z_2|$. تحقق أن $|z_1÷z_2|=|z_1|÷|z_2|$.

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعيار

نعتبر الأعداد العقدية التالية:

• $z_1=3+4i$
• $z_2=1-2i$

1. أحسب $z_1+z_2$ و $z_1\times z_2$ و $z_1/z_2$. أعطِ النتائج على الشكل الجبري $a+bi$.

2. أحسب $|z_1|$ و $|z_2|$ و $|z_1\times z_2|$. تحقق أن $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.

3. حدد مرافق $\overline{z_1}$ للعدد $z_1$، ثم أحسب $z_1\times \overline{z_1}$. ماذا تلاحظ؟

4. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة: $z^2-6z+25=0$.

التمرين 2 — المعادلات في $\mathbb{C}$

نشتغل في المجموعة $\mathbb{C}$ للأعداد العقدية.

1. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة $z^2+2z+5=0$. عبر عن الحلول على شكلها الجبري.
2. ليكن $z_0$ حلا للمعادلة السابقة. تحقق أن الحل الآخر هو $\overline{z_0}$ (مرافق $z_0$). هل هذه الخاصية عامة لكل كثير حدود بمعاملات حقيقية؟ علل إجابتك بإيجاز.
3. حل في $\mathbb{C}$ المعادلة $z^2-(3+i)z+(2+3i)=0$. (يمكنك التحقق من أن $z=2$ حل ثم قم بالتعميل.)

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعادلات في $\mathbb{C}$

نعتبر العدد العقدي $z_0=3-4i$.

1. الجزء A — حسابات أساسية

   1. حدد الجزء الحقيقي والجزء التخيلي للعدد $z_0$.
   2. احسب المعيار $|z_0|$ والمرافق ${\bar{z}}_0$.
   3. احسب $z_0\times {\bar{z}}_0$ وتحقق أن النتيجة متناسقة مع تعريف المعيار.

2. الجزء B — الخارج

   ليكن العدد العقدي $w=\frac{2+i}{z_0}$.

   1. اكتب $w$ على الشكل الجبري $a+bi$، حيث $a,b\in \mathbb{R}$.
   2. احسب $|w|$ باستخدام خاصيات المعيار (دون العودة إلى الشكل الجبري).

3. الجزء C — معادلة من الدرجة الثانية

   نعتبر المعادلة في $\mathbb{C}$ : $z^2-6z+25=0$.

   1. احسب مميز المعادلة $\Delta$.
   2. حل المعادلة في $\mathbb{C}$ وعبر عن الحلول على الشكل الجبري.
   3. تحقق أن $z_0=3-4i$ هو أحد الحلول.

التمرين 1 – الشكل الجبري والمعيار

نعتبر العددين العقديين $z_1=3+4i$ و $z_2=1-2i$.

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1\times z_2$ و $z_1÷z_2$. أعطِ النتائج على شكلها الجبري.
2. احسب $|z_1|$ و $|z_2|$ و $|z_1\times z_2|$. تحقق أن $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
3. حدد مرافق ${\bar{z}}_1$ للعدد $z_1$، ثم احسب $z_1\times {\bar{z}}_1$. ماذا تلاحظ؟

التمرين 2 — الشكل المثلثي والمعيار والعمدة

نعتبر الأعداد العقدية التالية:

• $z_A=1+i$
• $z_B=-\sqrt{3}+i$
• $z_C=-2i$

1. لكل من هذه الأعداد العقدية، احسب المعيار وحدد عمدة في المجال $[-\pi ;\pi [$. استنتج الشكل المثلثي.
2. اكتب $z_A$ و $z_B$ على الشكل الأسي.
3. باستخدام الأشكال الأسية، احسب $z_A\times z_B$ واستنتج القيم المضبوطة لـ $\cos (7\pi /12)$ و $\sin (7\pi /12)$.

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعيار

نعتبر الأعداد العقدية التالية:

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1\times z_2$ و $z_1/z_2$. أعطِ النتائج على الشكل الجبري $a+bi$.
2. احسب معيار $z_1$ ومعيار $z_2$ ومعيار $z_1\times z_2$. تحقق أن $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
3. حدد مرافق $\overline{z_1}$ للعدد $z_1$، ثم تحقق أن $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.

التمرين 2 — الشكل المثلثي والمعيار والعمدة

نعتبر العددين العقديين التاليين :

• $z_A=-1+i$
• $z_B=\sqrt{3}-i$

1. أحسب معيار وعمدة للعدد $z_A$، ثم اكتب $z_A$ على الشكل المثلثي وعلى الشكل الأسي.
2. أحسب معيار وعمدة للعدد $z_B$، ثم اكتب $z_B$ على الشكل المثلثي وعلى الشكل الأسي.
3. استنتج الشكل الأسي للعددين $z_A\times z_B$ و $\frac{z_A}{z_B}$، دون إجراء الجداء أو القسمة الجبرية مباشرة.
4. تحقق من نتيجة الجداء بنشر $(-1+i)(\sqrt{3}-i)$ مباشرة.

التمرين 2 — الشكل المثلثي والمعيار والعمدة

نعتبر الأعداد العقدية التالية:

• $z_A=-1+i\sqrt{3}$
• $z_B=\sqrt{3}+i$

الجزء 1 — الشكل المثلثي

1. أحسب معيار وعمدة للعدد $z_A$. استنتج الشكل المثلثي للعدد $z_A$.
2. أحسب معيار وعمدة للعدد $z_B$. استنتج الشكل المثلثي للعدد $z_B$.

الجزء 2 — الجداء والخارج

3. باستعمال الأشكال المثلثية، أحسب معيار وعمدة للعدد $z_A\times z_B$.
4. تحقق من نتيجة السؤال 3 بحساب مباشر للعدد $z_A\times z_B$ على شكله الجبري، ثم استنتج معياره وعمدته.
5. أحسب معيار وعمدة للعدد $z_A÷z_B$.

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعيار

نعتبر الأعداد العقدية التالية:

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

الجزء 1 — العمليات على الشكل الجبري

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1-z_2$ و $z_1\times z_2$. أعطِ النتائج على الشكل الجبري.
2. احسب مرافق $\overline{z_1}$ للعدد $z_1$، ثم تحقق أن $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. اكتب الخارج $z_1÷z_2$ على الشكل الجبري $a+bi$ حيث $a,b\in \mathbb{R}$.

الجزء 2 — المعيار

4. احسب $|z_1|$ و $|z_2|$ و $|z_1\times z_2|$.
5. تحقق أن $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.

التمرين 2 — الشكل المثلثي والمعيار

نعتبر الأعداد العقدية التالية:

• $z_A=1+i$
• $z_B=\sqrt{3}-i$
• $z_C=-2i$

1. اكتب كل من الأعداد $z_A$, $z_B$ و $z_C$ على الشكل المثلثي $r(\cos \theta +i\sin \theta )$، مع تحديد المعيار $r$ وعمدة $\theta \in ]-\pi ;\pi ]$.
2. استنتج الشكل الأسي لكل من $z_A$, $z_B$ و $z_C$.
3. احسب $z_A\times z_B$ و $z_A/z_C$ باستخدام الأشكال الأسية. أعط النتائج على الشكل الجبري.
4. حدد عمدة للعدد $z_A^2\times z_B$ دون حساب هذا الجداء صراحة على الشكل الجبري.

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعيار

نعتبر الأعداد العقدية التالية:

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

الجزء 1 — العمليات على الشكل الجبري

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1-z_2$ و $z_1\times z_2$. أعطِ النتائج على الشكل الجبري $a+bi$.
2. احسب مرافق $\overline{z_1}$ للعدد $z_1$، ثم تحقق أن $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
3. اكتب خارج القسمة $z_1÷z_2$ على الشكل الجبري بضرب البسط والمقام في $\overline{z_2}$.

الجزء 2 — المعايير والعمدة

1. احسب $|z_1|$ و $|z_2|$ و $|z_1\times z_2|$. تحقق أن $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
2. حدد عمدة للعدد $z_2=1-i$. استنتج الشكل المثلثي للعدد $z_2$.

التمرين 1 — الشكل الجبري والمعيار

نعتبر الأعداد العقدية التالية:

• $z_1=3+2i$
• $z_2=1-i$

1. احسب $z_1+z_2$ و $z_1\times z_2$ و $z_1/z_2$. أعطِ النتائج على الشكل الجبري $a+bi$.
2. احسب معيار $z_1$ ومعيار $z_2$ ومعيار $z_1\times z_2$. تحقق أن $|z_1\times z_2|=|z_1|\times |z_2|$.
3. حدد مرافق $\overline{z_1}$ للعدد $z_1$، ثم تحقق أن $z_1\times \overline{z_1}=|z_1{|}^2$.
4. ليكن $z=x+yi$ ($x,y\in \mathbb{R}$). حدد العددين الحقيقيين $x$ و $y$ بحيث $z^2=5+12i$.

في المستوى العقدي، نعتبر النقط $A(-2+3i)$ و $B(2+4i)$ و $C(5+3i)$ و $D(1+2i)$ و $E(-7)$.

1. برهن أن الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع.
2. حدد لاحقة مركزه $\Omega$.
3. بين أن النقط $D$ و $C$ و $E$ مستقيمية.

العدد j وقواه

نضع $j=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$.

1. احسب $j^2$.

2. بيّن أن $j^2+j+1=0$، ثم استنتج أن $j^3=1$.

3. اكتب $j^{2026}$ على الشكل الجبري.

مجموعات النقط المعرفة بواسطة معيار

ليكن $M$ نقطة لاحقتها $z$. حدد في كل حالة مجموعة النقط $M$ :

1. $|z-2i|=3$

2. $|iz-3|=1$

3. $|\bar{z}-3+i|=|z-5|$

حساب العناصر الزاوية

ليكن $z_1$ و $z_2$ عددين عقديين غير معدومين بحيث:

$\arg (z_1)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]\text{و}\arg (z_2)\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]$

1. حدد عنصراً زاوياً لـ $z=z_1{z}_2$، ولـ $z^{\prime }=\frac{z_1}{z_2}$ ولـ $z^{\prime \prime }=(z_2{)}^4$.

2. حدد عنصراً زاوياً لـ $z_3$ في كل من الحالات: a) $\frac{z_3}{z_2}=z_1^2$ ؛ b) $z_3\times \overline{z_2}=4z_1$.

كتابة على الشكل المثلثي

اكتب كل عدد من الأعداد المركبة التالية على الشكل المثلثي:

$z_1=\sqrt{3}+i,z_2=-4i,z_3=2-2i,z_4=i$

$z_5=-2,z_6=-3-3i,z_7=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

التعرف على مثلث

في المستوى العقدي، نعتبر النقط $A(a=2)$ و $B(b=-1+i)$ و $C(c=3+3i)$.

تحقق من أن $\frac{c-a}{b-a}=-i$، ثم استنتج طبيعة المثلث $ABC$.

في المستوى العقدي، نعتبر النقط $A(a)$، $B(b)$، $C(c)$ حيث $a=1+2i$، $b=3+3i$ و $c=4+5i$.

1. حدد اللاحقة $d$ للنقطة $D$ بحيث يكون $ABCD$ متوازي أضلاع.

2. تحقق من أن $c-a=3i(b-d)$، ثم استنتج أن المستقيمين $(AC)$ و $(BD)$ متعامدان.

3. بين أن الرباعي $ABCD$ معين.

4. حدد اللاحقة $e$ للنقطة $E$، المتماثلة مع $B$ بالنسبة إلى $A$، ثم استنتج مركز ونصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث $EBD$.

في المستوى العقدي، نعتبر النقط $A(-2+3i)$ و $B(2+4i)$ و $C(5+3i)$ و $D(1+2i)$ و $E(-7)$.

1. برهن أن الرباعي $ABCD$ متوازي أضلاع.

2. احسب لاحقة مركزه $I$.

3. بين أن النقط $D$ و $C$ و $E$ مستقيمية.

ليكن $z_1$ و $z_2$ عددين عقديين بحيث:

$\arg (z_1)\equiv \frac{\pi }{2}[2\pi ]\text{و}\arg (z_2)\equiv \frac{\pi }{4}[2\pi ]$

1. حدد عمدة للعدد $z=z_1{z}_2$، وللعدد $z^{\prime }=\frac{z_1}{z_2}$ وللعدد $z^{\prime \prime }=(z_2{)}^4$.

2. حدد عمدة للعدد $z_3$ في كل من الحالات: a) $\frac{z_3}{z_2}=z_1^2$ ؛ b) $z_3\times \overline{z_2}=4z_1$.

اكتب على الشكل المثلثي الأعداد المركبة التالية:

$z_1=\sqrt{3}+i;z_2=-4i;z_3=2-2i;z_4=i$

$z_5=-2;z_6=-3-3i;z_7=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}$

في المستوى العقدي، نعتبر النقط $A(a)$ و $B(b)$ و $C(c)$ حيث:

$a=2;b=-1+i;c=3+3i$

تحقق من أن $\frac{c-a}{b-a}=-i$، ثم استنتج طبيعة المثلث $ABC$.

حدد طبيعة والعناصر المميزة للتحويل $f$ الذي يربط بكل نقطة $M(z)$ صورتها $M^{\prime }(z^{\prime })$ في كل من الحالات التالية:

1. $z^{\prime }=z-3i$

2. $z^{\prime }=4z-3i$

3. $z^{\prime }=-iz+2-i$

ليكن العددان العقديان z₁ = 3 + 4i و z₂ = 1 - 2i. أحسب z₁ + z₂.

أوجد مرافق العدد العقدي z = -2 + 7i.

احسب جداء العددين العقديين z₁ = 1 + i و z₂ = 2 - 3i.

احسب معيار العدد العقدي $z=-2+3i$.

ليكن z = 5 - 7i. أوجد مرافق z.

احسب معيار العدد العقدي $z=2+3i$.

احسب z₁$\cdot$z₂ إذا كان z₁ = 1 + i و z₂ = 2 - 3i.