Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma

Cours complet

Contenu du cours

I. المسلمات والمفاهيم الأساسية

يتكون الفضاء من نقط ومستقيمات ومستويات. ونُسلِّم بما يلي:

يمر من كل نقطتين متمايزتين مستقيم وحيد.
يمر من كل ثلاث نقط غير مستقيمية مستوى وحيد.
إذا كانت نقطتان متمايزتان من مستقيم (D) تنتميان إلى مستوى (P)، فإن المستقيم بأكمله ضمن (P): (D) $\subset$ (P).
في كل مستوى من الفضاء، تنطبق الهندسة المستوية.

II. تحديد مستوى

يُحدد مستوى بطريقة وحيدة بإحدى المعطيات التالية:

ثلاث نقط غير مستقيمية A, B, C — المستوى يُرمز إليه بـ (ABC).
مستقيم (D) ونقطة M $\in /$ (D).
مستقيمان متقاطعان (D) $\cap$ (D') = {M}.
مستقيمان متوازيان قطعا.

III. الأوضاع النسبية لمستقيمين

يكون مستقيمان (D) و (D') في الفضاء، حصريًا، في أحد الأوضاع التالية:

مستوائيين (محتويين في نفس المستوى):
- متقاطعين: (D) $\cap$ (D') = {نقطة واحدة}.
- متوازيين قطعا: (D) $∥$ (D'), (D) $\neq =$ (D'), (D) $\cap$ (D') = $\emptyset$ .
- منطبقين: (D) = (D').
غير مستوائيين (لا يوجد مستوى مشترك): (D) $\cap$ (D') = $\emptyset$ لكنهما غير متوازيين.

IV. الأوضاع النسبية لمستقيم ومستوى

يكون مستقيم (D) ومستوى (P)، حصريًا، في أحد الأوضاع التالية:

(D) $\subset$ (P): المستقيم محتوى في المستوى.
(D) $\cap$ (P) = {نقطة واحدة}: المستقيم يقطع المستوى.
(D) $∥$ (P): (D) $\cap$ (P) = $\emptyset$ .

معيار توازي مستقيم ومستوى: يكون مستقيم (D) موازيا لمستوى (P) إذا وفقط إذا كان (D) موازيا لمستقيم واحد على الأقل محتوى في (P).

V. الأوضاع النسبية لمستويين

يكون مستويان (P) و (P')، حصريًا، في أحد الأوضاع التالية:

متوازيين: (P) $\cap$ (P') = $\emptyset$ (متوازيين قطعا) أو (P) = (P') (منطبقين).
متقاطعين: (P) $\cap$ (P') هو مستقيم.

معايير توازي مستويين:

(P) $∥$ (P') إذا وفقط إذا كان (P) يحتوي على مستقيمين متقاطعين يوازيان (P').
إذا كان (P) $∥$ (P') وإذا قطع مستوى (Q) المستوى (P) في (D)، فإن (Q) يقطع (P') في (D') مع (D) $∥$ (D').

VI. مبرهنة السقف

ليكن (P) و (P') مستويين متقاطعين وفق مستقيم ( $Δ$ ). إذا كان (D) $\subset$ (P) و (D') $\subset$ (P') مستقيمين متوازيين، فإن (D) و (D') و ( $Δ$ ) متوازية فيما بينها.

VII. التعامد في الفضاء

نقول إن مستقيمين (D) و (D') متعامدان إذا كانت المستقيمات الموازية لهما والمارة من نفس النقطة متعامدة. (ملاحظة: على عكس المستوى، لا يلزم أن يكون مستقيمان متعامدان في الفضاء متقاطعين).

يكون مستقيم (D) عموديا على مستوى (P) إذا وفقط إذا كان عموديا على كل مستقيم في (P).

معيار: (D) $⊥$ (P) إذا وفقط إذا كان (D) عموديا على مستقيمين متقاطعين في (P).

إذا كان (D) $⊥$ (P) و (D') $∥$ (D)، فإن (D') $⊥$ (P). إذا كان (D) $⊥$ (P) و (P) $∥$ (P')، فإن (D) $⊥$ (P').

VIII. المجسمات الاعتيادية — المساحات والحجوم

المجسم	الحجم	المساحة الكلية
مكعب (حرفه a)	$a^{3}$	$6 a^{2}$
متوازي المستطيلات (L, l, h)	$L \cdot l \cdot h$	$2 (L l + L h + l h)$
موشور قائم	$B \times h$	$2 B + P \cdot h$
هرم	$\frac{1}{3} \cdot B \cdot h$	$B + A_{الجانبية}$
أسطوانة قائمة (R, h)	$π R^{2} h$	$2 π R^{2} + 2 π R h$
مخروط دوراني (R, h)	$\frac{1}{3} π R^{2} h$	$π R^{2} + π R \cdot ℓ$ ( $ℓ$ = المولد)
كرة (R)	$\frac{4}{3} π R^{3}$	$4 π R^{2}$

B = مساحة القاعدة، P = محيط القاعدة.

🔑 Formules clés à retenir

المستوى المحدد بواسطة: 3 نقط غير مستقيمية، مستقيمان متقاطعان، مستقيمان متوازيان قطعا
مستقيمان: متقاطعان / متوازيان / منطبقان / غير مستويين
(D) ∥ (P): (D) يوازي مستقيما ضمن (P)
مبرهنة السقف: (D) ∥ (D') ⇒ (Δ) ∥ (D) ∥ (D')
(D) ⊥ (P): (D) عمودي على مستقيمين متقاطعين ضمن (P)
حجم الهرم = (1/3)·مساحة القاعدة·الارتفاع ؛ حجم المخروط = (1/3)πR²h ؛ حجم الكرة = (4/3)πR³
مساحة الكرة = 4πR² ؛ المساحة الكلية للاسطوانة = 2πR² + 2πRh

⚠️

Astuces & Pièges à éviter

Les erreurs classiques — à lire avant les exercices !

🔴 أخطاء شائعة

❌

يمكن لمستقيمين في الفضاء ألا يكونا متوازيين ولا متقاطعين — هذه هي المستقيمات "غير المستوية" (غير المتسامتة). هذا لا يوجد في البعد الثنائي، انتبه عند الانتقال إلى البعد الثلاثي.

❌

نسيان العامل 1/3 للهرم والمخروط — هذه هي نفس القاعدة التي درستها في السنة الثالثة إعدادي: المجسمات "المدببة" حجمها V = (1/3) × مساحة القاعدة × الارتفاع.

❌

(D) ⊥ (P) يتطلب مستقيمين متقاطعين من (P)، وليس واحداً فقط — مستقيم عمودي على مستقيم واحد فقط من المستوى ليس بالضرورة عمودياً على المستوى.

🟢 نصائح احترافية

✅

مقطع مستوى لمجسم: إيجاد تقاطعات المستوى مع كل وجه، باستخدام مبرهنات التوازي. العمل وجهاً لوجه.

💡

ارتفاع المجسم يكون دائماً عمودياً على القاعدة. الخلط بينه وبين حرف جانبي هو خطأ شائع في حسابات الحجم.

🧭

Méthodes types

Pour chaque type de question : la démarche à suivre, étape par étape.

طرق نموذجية — الهندسة في الفضاء

النوع 1: تحديد الوضع النسبي لمستقيمين

متى؟ عندما يُعطى مستقيمان في الفضاء ويُطلب معرفة ما إذا كانا متوازيين أو متقاطعين أو غير مستويين.

تحقق أولاً إذا كان المستقيمان مستويين (محتويين في نفس المستوى).
إذا كانا مستويين: قارن اتجاهيهما. نفس الاتجاهين $\Rightarrow$ متوازيان (بشكل صارم أو متطابقان)؛ اتجاهان مختلفان $\Rightarrow$ متقاطعان (نقطة مشتركة واحدة).
إذا لم يكونا مستويين: ليس لهما أي نقطة مشتركة وليسا متوازيين.

مثال سريع: في مكعب $A B C D E F G H$ ، المستقيمان $(A B)$ و $(G H)$ متوازيان؛ $(A B)$ و $(C G)$ غير مستويين.

النوع 2: تحديد الوضع النسبي لمستقيم ومستوى

متى؟ عندما يُعطى مستقيم $(D)$ ومستوى $(P)$ ويُطلب إيجاد تقاطعهما.

ابحث عن النقاط المشتركة: المستقيم إما محتوى في المستوى، أو موازٍ للمستوى (لا توجد نقطة مشتركة)، أو قاطع (نقطة واحدة فقط).
معيار عملي: إذا كان $(D)$ موازياً لمستقيم محتوى في $(P)$ ، فإن $(D)$ موازٍ للمستوى (أو محتوى فيه).
وإلا فإن $(D)$ يخترق المستوى في نقطة وحيدة.

مثال سريع: في مكعب، المستقيم $(E F)$ موازٍ للمستوى $(A B C D)$ لأن $(E F) ∥ (A B)$ و $(A B) \subset (A B C D)$ .

النوع 3: تحديد الوضع النسبي لمستويين

متى؟ عندما يُعطى مستويان ويُطلب معرفة ما إذا كانا متوازيين أو متقاطعين.

مستويان إما متوازيان (متطابقان أو بشكل صارم)، أو متقاطعان وفق مستقيم.
معيار التوازي: إذا كان مستقيمان متقاطعان من مستوى $(P)$ موازيين لمستقيمين من المستوى $(Q)$ ، فإن $(P) ∥ (Q)$ .
إذا كانا متقاطعين، فإن تقاطعهما مستقيم؛ ابحث عن نقطتين مشتركتين للمستويين لرسمه.

مثال سريع: في مكعب، المستويان $(A B C D)$ و $(E F G H)$ متوازيان؛ $(A B C D)$ و $(A B F E)$ متقاطعان وفق $(A B)$ .

النوع 4: إثبات أن مستقيماً موازٍ لمستوى

متى؟ عندما يُطلب إثبات أن $(D) ∥ (P)$ .

أوجد، في المستوى $(P)$ ، مستقيماً $(D^{'})$ محتوى في $(P)$ .
أثبت أن $(D) ∥ (D^{'})$ (مثلاً عبر متوازي أضلاع أو مبرهنة مستقيم المنتصفين).
استنتج: مستقيم موازٍ لمستقيم من مستوى، وغير محتوى في هذا المستوى، يكون موازياً لهذا المستوى.

مثال سريع: إذا كان $I$ و $J$ منتصفي $[S A]$ و $[S B]$ ، فإن $(I J) ∥ (A B) \subset (A B C)$ ، إذن $(I J) ∥ (A B C)$ .

النوع 5: إثبات أن مستويين متوازيان

متى؟ عندما يُطلب إثبات أن $(P) ∥ (Q)$ .

حدد في $(P)$ مستقيمين متقاطعين $(d_{1})$ و $(d_{2})$ .
أثبت أن $(d_{1})$ و $(d_{2})$ موازيان على التوالي لمستقيمين من $(Q)$ .
استنتج بالمبرهنة: مستقيمان متقاطعان من $(P)$ موازيان لـ $(Q)$ يستلزمان $(P) ∥ (Q)$ .

مثال سريع: إذا كان $(d_{1}) ∥ (d_{1}^{'})$ و $(d_{2}) ∥ (d_{2}^{'})$ مع $(d_{1})$ و $(d_{2})$ متقاطعان في $(P)$ ، فإن $(P) ∥ (Q)$ .

النوع 6: تحديد تقاطع مستويين (مستقيم)

متى؟ عندما يُطلب المستقيم الناتج عن تقاطع مستويين متقاطعين.

ابحث عن نقطة أولى تنتمي للمستويين (غالباً نقطة مشتركة واضحة من المعطيات).
ابحث عن نقطة ثانية مشتركة للمستويين.
المستقيم المار بهاتين النقطتين هو التقاطع المطلوب.
حيلة: إذا كان كل مستوى يحتوي على مستقيم وهذان المستقيمان متقاطعان، فإن نقطة تقاطعهما تنتمي للمستويين.

مثال سريع: المستويان $(S A B)$ و $(S C D)$ يتقاطعان وفق مستقيم يمر بـ $S$ وبنقطة تقاطع $(A B)$ و $(C D)$ .

النوع 7: إنشاء مقطع مجسم بمستوى

متى؟ عندما يُطلب رسم تقاطع مكعب أو هرم أو رباعي وجوه مع مستوى معطى بنقاط.

على كل وجه، اربط نقاط مستوى القطع التي تنتمي لهذا الوجه: تحصل على قطعة من المقطع.
استخدم التوازي: إذا كان مستوى القطع موازياً لوجه، فإن التقاطعات مع الوجوه المقابلة متوازية.
لعبور حرف، مدد المستقيمات لإيجاد التقاطع مع الأحرف أو مستويات الوجوه.
المقطع النهائي هو مضلع مغلق (مثلث، رباعي...).

مثال سريع: قطع مكعب بمستوى موازٍ لوجه ينتج مربعاً مطابقاً لهذا الوجه.

النوع 8: استخدام مبرهنة السقف

متى؟ عندما يحتوي مستويان متقاطعان كل منهما على مستقيم، وهذان المستقيمان متوازيان.

تحقق من الفرضيات: $(P)$ يحتوي على $(d)$ ، $(Q)$ يحتوي على $(d^{'})$ ، $(d) ∥ (d^{'})$ ، و $(P)$ و $(Q)$ متقاطعان وفق $(Δ)$ .
طبق مبرهنة السقف: مستقيم التقاطع $(Δ)$ موازٍ لـ $(d)$ ولـ $(d^{'})$ .
استخدم هذا الاتجاه المعروف لرسم أو تحديد $(Δ)$ .

مثال سريع: إذا كان $(d) ∥ (d^{'})$ مع $(d) \subset (P)$ و $(d^{'}) \subset (Q)$ ، فإن المستقيم المشترك $(Δ)$ يحقق $(Δ) ∥ (d)$ .

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

1ère Année Collège — Atlasmaths.ma | Écris tes réponses dans les espaces prévus

Exercices interactifs

43 exercices • Lis l'énoncé, écris ta réponse, puis vérifie la correction

Ma progression 0 / 43 corrigés

Exercices Faciles

18 exercices

تحديد مستوى

Facile

Énoncé

حدد مستوى (P) المار من النقط A(1, 0, 0) و B(0, 1, 0) و C(0, 0, 1).

Ma réponse

Géométrie dans l'espace

Géométrie dans l'espace — Résumé de cours

Cours complet

Contenu du cours

I. المسلمات والمفاهيم الأساسية

II. تحديد مستوى

III. الأوضاع النسبية لمستقيمين

IV. الأوضاع النسبية لمستقيم ومستوى

V. الأوضاع النسبية لمستويين

VI. مبرهنة السقف

VII. التعامد في الفضاء

VIII. المجسمات الاعتيادية — المساحات والحجوم

🔑 Formules clés à retenir

Astuces & Pièges à éviter

🔴 أخطاء شائعة

🟢 نصائح احترافية

Méthodes types

طرق نموذجية — الهندسة في الفضاء

النوع 1: تحديد الوضع النسبي لمستقيمين

النوع 2: تحديد الوضع النسبي لمستقيم ومستوى

النوع 3: تحديد الوضع النسبي لمستويين

النوع 4: إثبات أن مستقيماً موازٍ لمستوى

النوع 5: إثبات أن مستويين متوازيان

النوع 6: تحديد تقاطع مستويين (مستقيم)

النوع 7: إنشاء مقطع مجسم بمستوى

النوع 8: استخدام مبرهنة السقف

Géométrie dans l'espace — Fiche d'exercices

Exercices interactifs

Exercices Faciles

تحديد مستوى

توازي مستقيمين

الوضع النسبي لمستقيمين

تقاطع مستقيم ومستوى

الأوضاع النسبية لمستقيمين

الأوضاع النسبية لمستقيمين

إثبات استوائية

الأوضاع النسبية لمستقيمين

تقاطع مستقيم ومستوى

إثبات استوائية

تقاطع مستقيم ومستوى

إثبات استوائية متجهات

تحديد الأوضاع النسبية

الأوضاع النسبية لمستقيمات ومستويات

التمثيل بالمنظور متساوي القياس

المستوى المحدد بثلاث نقط

حجم مكعب

الفلكة – المساحة والحجم

Exercices Intermédiaires

Positions relatives des droites dans un tétraèdre

Droite sécante à un plan dans un tétraèdre

Plans sécants dans un cube

Parallélisme de plans dans une pyramide à base parallélogramme

إثبات استوائية

مسألة إنشاء هندسي

برهان التوازي

مقاطع الهرم المستوية

توازي مستقيم ومستوى

متوازي المستطيلات القائم - القطر

مقاطع مكعب بمستوى

الأسطوانة - حساب

Exercices Difficiles

Section d'une pyramide et théorème du toit

Orthogonalité dans une pyramide à base équilatérale

Orthogonalité d'une droite à un plan dans un cube

دراسة وضع مستقيم ومستوى

الوضع النسبي لمستقيمين غير مستويين

برهان التعامد

حساب إحداثيات نقطة تقاطع

برهان العلاقة بين مستقيم ومستوى

الأوضاع النسبية المركبة

تعامد مستقيم ومستوى

كرة محاطة بمكعب

مسافة نقطة عن مستوى

الهرم المنتظم

Exercices supplémentaires

—

Quiz — Géométrie dans l'espace

Continue ton chapitre là où tu l'as laissé

Installe Atlasmaths sur ton téléphone