لكل n ∈ N ∗ ، نضع S n = 1 + 2 + ⋯ + n . احسب S 1 ، S 2 و S 3 . برهن بالتراجع أن ( ∀ n ∈ N ∗ ) ; S n = 2 n ( n + 1 ) . استنتج أن n ( n + 1 ) زوجي. احسب S 100 .

Somme des premiers entiers par récurrence

Intermédiaire

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لكل $n \in N^{*}$ ، نضع $S_{n} = 1 + 2 + \dots + n$ .

احسب $S_{1}$ ، $S_{2}$ و $S_{3}$ .
برهن بالتراجع أن $(\forall n \in N^{*}); S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
استنتج أن $n (n + 1)$ زوجي.
احسب $S_{100}$ .

إرشادات

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1 الإرشاد 1

Pour la récurrence, commence par vérifier que la formule $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ marche bien pour $n=1$, puis suppose-la vraie au rang $n$.

2 الإرشاد 2

Pour l'hérédité, écris $S_{n+1} = S_n + (n+1)$, remplace $S_n$ par $\dfrac{n(n+1)}{2}$ grâce à ton hypothèse, et factorise par $(n+1)$.

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Pour la récurrence, commence par vérifier que la formule $S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ marche bien pour $n = 1$ , puis suppose-la vraie au rang $n$ .

Pour l'hérédité, écris $S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1)$ , remplace $S_{n}$ par $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ grâce à ton hypothèse, et factorise par $(n + 1)$ .

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