Démontrer par récurrence les propositions suivantes. ( ∀ n ∈ N ∗ ) ; 7 n − 2 n est divisible par 5 . ( ∀ n ∈ N ) ; 1 + 4 + 4 2 + ⋯ + 4 n = 3 4 n + 1 − 1 . ( ∀ n ∈ N ) ; 1 + 2 3 + 3 3 + ⋯ + n 3 = [ 2 n ( n + 1 ) ] 2 . ( ∀ n ∈ N ) ; 2 n ≥ n .

Récurrence : divisibilité, somme géométrique et inégalité

Difficile

Énoncé

Démontrer par récurrence les propositions suivantes.

$(\forall n \in N^{*}); 7^{n} - 2^{n}$ est divisible par $5$ .
$(\forall n \in N); 1 + 4 + 4^{2} + \dots + 4^{n} = \frac{4 ^{n + 1} - 1}{3}$ .
$(\forall n \in N); 1 + 2^{3} + 3^{3} + \dots + n^{3} = [\frac{n ( n + 1 )}{2}]^{2}$ .
$(\forall n \in N); 2^{n} \geq n$ .

Indices

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1 Indice 1

Pour chaque proposition, commence par verifier l'initialisation au premier rang concerne.

2 Indice 2

Suppose la propriete vraie au rang $n$ (hypothese de recurrence), puis exprime le terme au rang $n+1$ en faisant apparaitre l'expression du rang $n$.

3 Indice 3

Pour la question 1, factorise par $7$ ou reorganise pour faire apparaitre un multiple de $5$ ; pour la 4, utilise $n\geq 1$ dans l'inegalite finale.

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Pour chaque proposition, commence par verifier l'initialisation au premier rang concerne.

Suppose la propriete vraie au rang $n$ (hypothese de recurrence), puis exprime le terme au rang $n + 1$ en faisant apparaitre l'expression du rang $n$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

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