Pour tout n ∈ N ∗ , on pose S n = 1 + 2 + ⋯ + n . Calculer S 1 , S 2 et S 3 . Montrer par récurrence que ( ∀ n ∈ N ∗ ) ; S n = 2 n ( n + 1 ) . En déduire que n ( n + 1 ) est pair. Calculer S 100 .

Somme des premiers entiers par récurrence

Intermédiaire

Énoncé

Pour tout $n \in N^{*}$ , on pose $S_{n} = 1 + 2 + \dots + n$ .

Calculer $S_{1}$ , $S_{2}$ et $S_{3}$ .
Montrer par récurrence que $(\forall n \in N^{*}); S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ .
En déduire que $n (n + 1)$ est pair.
Calculer $S_{100}$ .

Indices

— clique pour révéler

1 Indice 1

Pour la récurrence, commence par vérifier que la formule $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ marche bien pour $n=1$, puis suppose-la vraie au rang $n$.

2 Indice 2

Pour l'hérédité, écris $S_{n+1} = S_n + (n+1)$, remplace $S_n$ par $\dfrac{n(n+1)}{2}$ grâce à ton hypothèse, et factorise par $(n+1)$.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

Demander à Prof Hicham

La méthode — par où commencer

Pour la récurrence, commence par vérifier que la formule $S_{n} = \frac{n ( n + 1 )}{2}$ marche bien pour $n = 1$ , puis suppose-la vraie au rang $n$ .

Pour l'hérédité, écris $S_{n + 1} = S_{n} + (n + 1)$ , remplace $S_{n}$ par $\frac{n ( n + 1 )}{2}$ grâce à ton hypothèse, et factorise par $(n + 1)$ .

La rédaction complète, étape par étape, se trouve juste en dessous.

Continue sur la même notion

Exercice Terminé? 🎉

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points

Absurde : inégalités et fractions non entières Tous les exercices du chapitre Récurrence : divisibilité, somme géométrique et inégalité

Somme des premiers entiers par récurrence

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Somme des premiers entiers par récurrence

Énoncé

Indices

La méthode — par où commencer

Correction détaillée

Débloque le corrigé complet

Exercice Terminé? 🎉

Valider votre réponse

Tu as vu 5 exercices aujourd'hui 🎯