Ordre multiplicatif et équation $a^{2023}\equiv 27\ [65]$

دراسة تطابق modulo $65=5\times 13$

نفترض أن $27\times 53\equiv 1[65]$ (مقلوب $27$ modulo $65$ هو $53$). ليكن $a$ حلاً في $\mathbb{N}$ للمعادلة $(F):a^{2023}\equiv 27[65]$.

1. أثبت أن $a\wedge 5=1$ و $a\wedge 13=1$، ثم استنتج أن $a^{12}\equiv 1[65]$.
2. ليكن $d$ أصغر عدد طبيعي غير معدوم بحيث $a^d\equiv 1[65]$. أثبت أن $d\mid 12$ وأن $d=4$، ثم حدد باقي $a^2$ modulo $65$.
3. استنتج أن $a$ حل للمعادلة $(F)$ إذا وفقط إذا كان $a\equiv 53[65]$.