المربعات والأعداد الأولية من الشكل 4 k + 3 لتكن p عددا أوليا من الشكل p = 4 k + 3 ( k ∈ N ) و x ∈ Z بحيث x 2 + 1 ≡ 0 [ p ] . تحقق من أن x 4 k + 2 ≡ − 1 [ p ] ، ثم بين أن p ∧ x = 1 وأن x 4 k + 2 ≡ 1 [ p ] . استنتج أن المعادلة x 2 + 1 ≡ 0 [ p ] ليس لها حل في Z . لتكن a , b ∈ Z بحيث a 2 + b 2 ≡ 0 [ p ] . بين أن a ≡ 0 [ p ] و b ≡ 0 [ p ] .

Non-existence de solutions de $x^2\equiv -1\ [p]$ pour $p\equiv 3\ [4]$

Difficile

لتكن $p$ عددا أوليا من الشكل $p = 4 k + 3$ ( $k \in N$ ) و $x \in Z$ بحيث $x^{2} + 1 \equiv 0 [p]$ . تحقق من أن $x^{4 k + 2} \equiv - 1 [p]$ ، ثم بين أن $p \land x = 1$ وأن $x^{4 k + 2} \equiv 1 [p]$ . استنتج أن المعادلة $x^{2} + 1 \equiv 0 [p]$ ليس لها حل في $Z$ .
لتكن $a, b \in Z$ بحيث $a^{2} + b^{2} \equiv 0 [p]$ . بين أن $a \equiv 0 [p]$ و $b \equiv 0 [p]$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

انطلق من $x^2\\equiv -1\\ [p]$ وارفع الطرفين إلى أس مختار جيدا لإظهار $x^{p-1}$.

2 الإرشاد 2

برفعه إلى الأس $2k+1$ تحصل على $x^{4k+2}\\equiv -1$ ؛ ومن جهة أخرى تعطي مبرهنة فيرما الصغرى $x^{p-1}=x^{4k+2}\\equiv 1$.

3 الإرشاد 3

يؤدي التناقض إلى $p\\mid 2$ ؛ وفي السؤال 2، إذا كان $p\\nmid a$، أدخل مقلوب $a$ لترجع إلى المعادلة المستحيلة الحل في السؤال 1.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

انطلق من $x^{2} e q u i v - 1 [p]$ وارفع الطرفين إلى أس مختار جيدا لإظهار $x^{p - 1}$ .

برفعه إلى الأس $2 k + 1$ تحصل على $x^{4 k + 2} e q u i v - 1$ ؛ ومن جهة أخرى تعطي مبرهنة فيرما الصغرى $x^{p - 1} = x^{4 k + 2} e q u i v 1$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points