نص التمرين نعتبر في Z 2 المعادلة ( E ) : 4 x − 5 y = 1 . أ) تحقق من أن ( − 1 ; − 1 ) حل. ب) حل ( E ) في Z 2 . ج) استنتج الحلول في Z للجملة { x ≡ 3 [ 5 ] x ≡ 2 [ 4 ] لكل n ∈ N ، نضع a = 4 n + 3 و b = 3 n + 1 . أ) بين أن a ∧ b = ( n + 2 ) ∧ 5 ، واستنتج قيم n بحيث a ∧ b = 5 . ب) حدد، حسب n ، باقي قسمة 2 n على 5 . ج) بين أن 2 a + 3 b ≡ 0 [ 5 ] ⟺ 2 a + b ≡ 4 [ 5 ] . د) حدد أصغر عدد صحيح n بحيث n > 20 ، 2 a + 3 b ≡ 0 [ 5 ] و a ∧ b = 5 .

Système de congruences, PGCD et puissances de 2 modulo 5

Difficile

نعتبر في $Z^{2}$ المعادلة $(E) : 4 x - 5 y = 1$ .
أ) تحقق من أن $(- 1; - 1)$ حل.
ب) حل $(E)$ في $Z^{2}$ .
ج) استنتج الحلول في $Z$ للجملة ${x \equiv 3 [5] x \equiv 2 [4]$
لكل $n \in N$ ، نضع $a = 4 n + 3$ و $b = 3 n + 1$ .
أ) بين أن $a \land b = (n + 2) \land 5$ ، واستنتج قيم $n$ بحيث $a \land b = 5$ .
ب) حدد، حسب $n$ ، باقي قسمة $2^{n}$ على $5$ .
ج) بين أن $2^{a} + 3^{b} \equiv 0 [5] ⟺ 2^{a + b} \equiv 4 [5]$ .
د) حدد أصغر عدد صحيح $n$ بحيث $n > 20$ ، $2^{a} + 3^{b} \equiv 0 [5]$ و $a \land b = 5$ .

— انقر للكشف

1 الإرشاد 1

بالنسبة للسؤال 1، تحقق اولا من الزوج المقترح في $(E)$، ثم قارن المعادلة العامة بهذا الحل الخاص للحصول على مساواة من نوع $4(x+1) = 5(y+1)$.

2 الإرشاد 2

بالنسبة للسؤال 2، استعمل خوارزمية اقليدس بطرح مضاعفات بين $4n+3$ و $3n+1$ لتخفيض المعاملات حتى الحصول على $(n+2) \wedge 5$.

3 الإرشاد 3

بالنسبة لقوى 2 بترديد 5، احسب القوى الاولى $2^1, 2^2, 2^3, 2^4$ بترديد 5 ولاحظ الدورية التي تظهر.

Bloqué sur cet exercice ?

Prof Hicham peut t'expliquer pas à pas, en s'adaptant à ton niveau.

بالنسبة للسؤال 1، تحقق اولا من الزوج المقترح في $(E)$ ، ثم قارن المعادلة العامة بهذا الحل الخاص للحصول على مساواة من نوع $4 (x + 1) = 5 (y + 1)$ .

بالنسبة للسؤال 2، استعمل خوارزمية اقليدس بطرح مضاعفات بين $4 n + 3$ و $3 n + 1$ لتخفيض المعاملات حتى الحصول على $(n + 2) \land 5$ .

التصحيح المفصّل خطوة بخطوة أسفله.

تمارين على نفس المفهوم

Validez votre réponse pour enregistrer votre progression et gagner des points