Petit théorème de Fermat et résolution de x^1346 ≡ 49 [2019]

نص التمرين

نضع $2019=3\times 673$ (حيث $673$ عدد أولي).

1. لتكن $a\in \mathbb{Z}$ بحيث $a\wedge 2019=1$.
   أ) بيّن أن $a\wedge 673=1$ و $a\wedge 3=1$، ثم أن $a^{672}\equiv 1[673]$ و $a^2\equiv 1[3]$.
   ب) استنتج أن $a^{672}\equiv 1[2019]$.

2. نعتبر في $\mathbb{Z}$ المعادلة $(E):x^{1346}\equiv 49[2019]$. ليكن $x$ حلاً.
   أ) بيّن أن $x\wedge 2019=1$، ثم أن $x^{1344}\equiv 1[2019]$.
   ب) استنتج أن $x^2\equiv 49[2019]$.

3. بالعكس، ليكن $x$ بحيث $x^2\equiv 49[2019]$. بيّن أن $x^{1346}\equiv 49[2019]$.

4. حل المعادلة $(E)$. (نعطي $680\equiv 7[673]$ و $680\equiv -7[3]$.)